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7.8

突然近似

变化快到波函数来不及反应时，旧波函数被原封不动地冻结进新哈密顿量——氚核衰变的电子去向由一个重叠积分决定。

建议先掌握

学完本节你应该能

  • 写出突然近似的判据：切换时间远小于体系的内禀周期 ħ/ΔE
  • 会把「冻结」的旧波函数在新哈密顿量的本征基上重新展开并读出概率
  • 对氚 β 衰变算出子离子各能级的布居（1s 占 70%、2s 占 25%）
  • 说清突然与绝热两个极限的分界，以及中间地带归谁管

上一节把「无限慢」这一端讲完了：绝热演化中体系寸步不离瞬时本征态。 本章收官，看天平的另一端——哈密顿量瞬间切换。出乎意料， 这一端比绝热还简单，而且有一个教科书级的真实案例，答案漂亮得像是编出来的。

案例是氚。氚（3^3H）是氢的放射性同位素：一个质子、两个中子， 外面绕着一个电子，电子的波函数就是我们最熟的氢原子 1s 态。 氚核会发生 β 衰变：

3H ⟶ 3He++eβ−+νˉ(7.8.1)^3\text{H}\ \longrightarrow\ ^3\text{He}^+ + e^-_{\beta} + \bar\nu\tag{7.8.1}

一个中子变成质子，射出一个高能 β 电子（能量可达 18.6 keV）和一个反中微子。 对留守的那个轨道电子来说，天塌下来的方式非常具体： 核电荷在一瞬间从 Z=1Z=1 跳成 Z=2Z=2。 它原来住的「氢原子」没有了， 脚下换成了「氦离子」——一套间距完全不同的新能级。

问题：这个电子会落到新体系的哪个能级上？各占多少概率？

先说清为什么老办法全都使不上。微扰论？势能直接翻倍，没有小参数。 绝热定理？它要求变化远慢于电子的轨道周期，而这里恰恰相反—— β 电子以接近光速冲出原子（穿过 a0a_0 只要约 10−1910^{-19} 秒）， 轨道电子的内禀周期是 ∼10−16\sim10^{-16} 秒：变化比体系的节拍快了上千倍。

快到来不及反应，反而好办

薛定谔方程说波函数的变化率是 ∂tΨ=−iH^Ψ/ℏ\partial_t\Psi=-\ii\hat H\Psi/\hbar——有限的数。 有限的变化率乘上趋于零的切换时间，变化就是零：

∣Ψ(0+)⟩=∣Ψ(0−)⟩(7.8.2)\ket{\Psi(0^+)}=\ket{\Psi(0^-)}\tag{7.8.2}

切换瞬间波函数原封不动。 这就是突然近似的全部内容——它近似的不是波函数 （波函数是精确连续的），而是「切换时间严格为零」这个理想化。

变的是波函数的身份。切换前它是旧哈密顿量的本征态，安安稳稳； 切换后，同一个波函数落在新哈密顿量的地盘上，就不再是任何本征态， 而是新本征态的叠加。往下的剧本我们在 3.8 节 排练过无数次：把它在新基上展开，展开系数的模平方就是测得各新能级的概率。

∣Ψ⟩=∑ncn∣n新⟩,cn=⟨n新|Ψ⟩,Pn=∣cn∣2(7.8.3)\ket{\Psi}=\sum_n c_n\ket{n^{\text{新}}},\qquad c_n=\braket{n^{\text{新}}}{\Psi},\qquad P_n=|c_n|^2\tag{7.8.3}

判据先立好。「瞬间」永远是相对的：切换耗时 τ\tau，体系的内禀节拍是 ℏ/ΔE\hbar/\Delta E（ΔE\Delta E 是相关能级的间距——波函数各成分相位错开的时间尺度），则

τ ≪ ℏΔE⟺突然近似成立(7.8.4)\tau\ \ll\ \frac{\hbar}{\Delta E} \quad\Longleftrightarrow\quad\text{突然近似成立}\tag{7.8.4}

氚的账：τ∼10−19\tau\sim10^{-19} 秒，ℏ/ΔE∼10−16\hbar/\Delta E\sim10^{-16} 秒（几十 eV 的能级间距）， 判据以三个数量级的余量满足。

物理图像

同一枚硬币的两面。 绝热与突然，判据是同一个比值 τΔE/ℏ\tau\Delta E/\hbar 的两个极限：

  • 远大于 1：绝热——波函数亦步亦趋，始终是瞬时本征态，布居不变， 只积累相位（上一节）；
  • 远小于 1：突然——波函数纹丝不动，身份被重新洗牌，布居重新分配。

慢变原地跟随、快变原地冻结，两端都简单；真正难的是 τΔE/ℏ∼1\tau\Delta E/\hbar\sim1 的中间地带——那里既不能冻结也不能跟随，必须老老实实解含时方程 （或退回 7.5 节的含时微扰论，若变化幅度小）。

数学形式

同一个初态 ∣n旧⟩\ket{n^{\text{旧}}}，同样从 H^旧\hat H_{\text{旧}} 变到 H^新\hat H_{\text{新}}：

绝热：Pm=δmn（跟到对应的新态）(7.8.5)\text{绝热：}\quad P_{m}=\delta_{mn}\qquad\text{（跟到对应的新态）}\tag{7.8.5}突然：Pm=∣⟨m新|n旧⟩∣2(7.8.6)\text{突然：}\quad P_{m}=\bigl|\braket{m^{\text{新}}}{n^{\text{旧}}}\bigr|^2\tag{7.8.6}

突然极限下概率由新旧本征态的重叠一锤定音——不需要解任何演化方程， 全部动力学问题退化成一个积分。

算一个：氚的电子去哪儿了

氚衰变后子离子的能级布居基础~8 min

冻结的旧态：Z=1Z=1 的 1s 波函数

ψ1s(Z=1)=1πa03 e−r/a0(7.8.7)\psi_{1s}^{(Z=1)}=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}\,\ee^{-r/a_0}\tag{7.8.7}

新的基：Z=2Z=2 的类氢波函数（把氢的解里 a0→a0/Za_0\to a_0/Z 即可）。 新 1s 态：

ψ1s(Z=2)=8πa03 e−2r/a0(7.8.8)\psi_{1s}^{(Z=2)}=\sqrt{\frac{8}{\pi a_0^3}}\,\ee^{-2r/a_0}\tag{7.8.8}

先用对称性清场：旧态是球对称的（ℓ=0\ell=0），核电荷跳变不涉及任何方向—— 角动量在切换前后严格守恒。所以电子只能落在新体系的 s 态上： P(2p)=P(3p)=P(3d)=⋯=0P(2p)=P(3p)=P(3d)=\cdots=0，一分概率都没有。要算的只剩与各 nns 态的重叠。

与新 1s 的重叠（角向积分给 4π4\pi，径向是初等积分）：

c1s=∫ψ1s(Z=2) ψ1s(Z=1) d3r=22⋅4ππa03∫0∞r2e−3r/a0 dr=82⋅227=16227(7.8.9)c_{1s}=\int\psi_{1s}^{(Z=2)}\,\psi_{1s}^{(Z=1)}\,\dd^3r =\frac{2\sqrt2\cdot4\pi}{\pi a_0^3}\int_0^\infty r^2\ee^{-3r/a_0}\,\dd r =8\sqrt2\cdot\frac{2}{27}=\frac{16\sqrt2}{27}\tag{7.8.9}

（用了 ∫0∞r2e−λrdr=2/λ3\int_0^\infty r^2\ee^{-\lambda r}\dd r=2/\lambda^3。）于是

P(1s)=(16227)2=512729≈0.702(7.8.10)P(1s)=\left(\frac{16\sqrt2}{27}\right)^2=\frac{512}{729}\approx0.702\tag{7.8.10}

与新 2s 的重叠：代入 ψ2s(Z=2)=1πa03(1−ra0)e−r/a0\psi_{2s}^{(Z=2)}=\sqrt{\dfrac{1}{\pi a_0^3}}\left(1-\dfrac{r}{a_0}\right)\ee^{-r/a_0}， 两段都是同类积分，结果干净得可疑：

c2s=−12,P(2s)=14=0.250(7.8.11)c_{2s}=-\frac12,\qquad P(2s)=\frac14=0.250\tag{7.8.11}

盘点：

末态概率
He⁺ 1s70.2%
He⁺ 2s25.0%
所有 p、d 态严格为 0
更高 ns + 电离4.8%

七成电子平静地住进新基态，四分之一被抬到 2s（随后发光落回）， 约 3% 干脆被电离飞走——衰变一次，附赠一次小型「化学反应」。 这些数字不是纸面游戏：氚衰变谱的精密测量（如今是测中微子质量的 KATRIN 实验的核心）必须逐项扣除这些电子端的能量分配， 用的正是这里的重叠积分（当然算到了远高得多的精度）。

本节关键公式

  • 突然近似

    ∣Ψ(0+)⟩=∣Ψ(0−)⟩,Pm=∣⟨m新|Ψ(0−)⟩∣2\ket{\Psi(0^+)}=\ket{\Psi(0^-)},\qquad P_m=\bigl|\braket{m^{\text{新}}}{\Psi(0^-)}\bigr|^2

    波函数冻结，概率 = 新旧本征态重叠的模平方

  • 判据

    τ≪ℏΔE\tau\ll\frac{\hbar}{\Delta E}

    与绝热判据是同一比值的两个极限；中间地带须解含时方程

  • 氚：新基态布居

    P(1s)=(16227)2=512729≈0.702P(1s)=\left(\frac{16\sqrt2}{27}\right)^2=\frac{512}{729}\approx0.702

    2s 占 1/4；p、d 态因角动量守恒严格为零

自测共 4 题

  1. 1.

    突然近似中「近似」的究竟是什么？

  2. 2.

    氚衰变后，电子落到 He⁺ 的 2p 态的概率是多少？为什么？

  3. 3.

    同一个体系、同一对新旧哈密顿量，绝热切换与突然切换的结局分别是：

  4. 4.

    氚衰变后电子留在 He⁺ 基态的概率 P(1s) = (16√2/27)²。算出这个数值（保留三位小数）。

    允许 1% 相对误差

接下来

第 7 章清点完毕：微扰论（静态、简并、含时）、变分法、WKB、黄金规则、 绝热与突然——精确解不存在的世界里，这七件工具撑起了几乎全部实际计算。

但本章有一笔账一直没敢细看。氦原子出场了三次（7.1 微扰、7.3 变分）， 我们始终管两个电子叫「电子 1」和「电子 2」，波函数写成 ψ(r⃗1,r⃗2)\psi(\vec r_1,\vec r_2)， 仿佛它们一个戴红帽、一个戴蓝帽。可是电子没有帽子——两个电子交换位置， 物理上不可能有任何观测量发生变化。这个看似无害的「不可区分性」， 将以惊人的强度反作用于波函数的数学结构：它把所有多粒子态劈成对称与反对称两大阵营， 生出泡利不相容原理、元素周期表、白矮星的抗塌压强， 也会回头修正我们这一章对氦原子欠下的最后 1.5 eV。 下一章，全同粒子。

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