跳到正文
EN

12.4

反粒子与负能海

能谱没有底，原子凭什么稳定？Dirac 的答案是把真空填满：负能海。海里的一个空穴就是一个正电子——1931 年写在纸上，1932 年出现在云室里。

建议先掌握

学完本节你应该能

  • 说明负能解为什么既删不得又留不得：无底能谱会让所有原子在纳秒内崩塌
  • 讲清 Dirac 海图像：泡利不相容如何堵住下跌通道，空穴如何表现为正电荷粒子
  • 复述正电子的预言与 Anderson 的云室发现，并举出对湮灭的现代应用（PET）
  • 指出 Dirac 海的三处硬伤与现代场论（Feynman-Stückelberg）的解读

上一节结尾，Dirac 方程赢了概率、输了能谱：每个动量都带着一个 E=−p2c2+m2c4E=-\sqrt{p^2c^2+m^2c^4} 的负能解，能级从 −mc2-mc^2 起一路负到负无穷。 这一节讲物理学史上最大胆的一次「打补丁」——补丁本身后来被拆掉了， 但它预言的东西留了下来，而且拿了诺贝尔奖。

灾难有多具体

先把「能谱无底」的后果算清楚，才知道问题多致命。

量子体系里，激发态会向低能级跃迁并放出光子——氢原子的 2p→1s2p\to1s 只要约 1.6 ns。现在 Dirac 方程说：1s1s 下面还有能级，在 −mc2-mc^2 之下， 而且没有最低一层。那么什么都拦不住这样的级联：

e−(1s)  →  e−(E<−mc2)+γ  →  e−(E≪−mc2)+γ+γ  →  ⋯(12.4.1)e^-(1s)\;\to\;e^-(E<-mc^2)+\gamma\;\to\;e^-(E\ll-mc^2)+\gamma+\gamma\;\to\;\cdots\tag{12.4.1}

每跌一层放出一个光子，能量越跌越负、放出的光子越来越多，永无止境。 估算表明这种「向下辐射」的速率在纳秒量级——宇宙中不该存在任何稳定的原子， 你我此刻就该是一团伽马射线。这比 KG 的负概率还糟：负概率只是解释不通， 无底能谱是与「万物存在」这个观测事实直接冲突。

删掉负能解行不行？不行，理由和上一节一样：不完备。 更何况有外场时，正能态与负能态之间有非零的跃迁矩阵元—— 你删掉的态，动力学自己会把粒子送进去。

Dirac 的翻盘：把真空填满

1930 年，Dirac 提出一个至今读来仍觉胆大包天的方案。

物理图像

图像。 重新定义「真空」：所谓空无一物的状态， 其实是所有负能级都已坐满电子的状态——一片无边的「负能海」。

为什么这就稳住了原子？因为电子是费米子，服从 8.3 节的泡利不相容原理： 一个态最多坐一个电子。正能级上的电子想往下跌？ 下面每一层都已经有人。级联灾难被不相容原理整个堵死。

代价是把真空变成了一个无限深的「电子仓库」。 Dirac 的赌注：仓库整体均匀、处处一样，所以观测不到它本身—— 能观测到的只有它的扰动。

数学形式

扰动一：造对。 给海里的一个负能电子（能量 −∣E∣-|E|）打进一份能量 ≥2mc2\geq2mc^2 的光子，把它抬到正能级（+∣E′∣≥mc2+|E'|\geq mc^2）。 海里留下一个空穴。

扰动二：读出空穴。 相对满海的真空，缺一个「能量 −∣E∣-|E|、电荷 −e-e」 的电子，表现为多出能量 +∣E∣+|E|、电荷 +e+e：

空穴=质量与电子相同、电荷相反的粒子(12.4.2)\text{空穴}=\text{质量与电子相同、电荷相反的粒子}\tag{12.4.2}

一次造对在实验上看到的就是：光子消失，出现一个电子加一个正电荷的 「反电子」。反过来，正能电子掉进空穴、双双消失并放出光子——湮灭：

e++e−→γ+γ(12.4.3)e^++e^-\to\gamma+\gamma\tag{12.4.3}
造对的门槛：为什么是 1.022 MeV基础~6 min

最小能量。 把海里的电子从最高的负能级（−mc2-mc^2，对应 p=0p=0） 抬到最低的正能级（+mc2+mc^2），至少需要

Emin=mc2−(−mc2)=2mc2=2×0.511 MeV=1.022 MeV(12.4.4)E_{\text{min}}=mc^2-(-mc^2)=2mc^2 =2\times0.511\ \text{MeV}=1.022\ \text{MeV}\tag{12.4.4}

这是伽马光子造出正负电子对的能量门槛，实验里分毫不差。 （严格说，单个自由光子造对还需要旁边有个原子核收走反冲动量， 否则能量动量守恒无法同时满足——门槛值本身不变。）

反过来的账。 一对静止的正负电子湮灭成两个光子，每个光子带走

Eγ=mc2=511 keV(12.4.5)E_\gamma=mc^2=511\ \text{keV}\tag{12.4.5}

两个光子背靠背飞出（动量守恒）。这条 511 keV 的谱线是天文与医学里 正电子的「指纹」：医院的 PET（正电子发射断层扫描）给病人注射 发射正电子的示踪剂，探测环捕捉每一对背靠背的 511 keV 光子， 沿连线反推湮灭点——人体内部的代谢地图就是这样画出来的。 反物质不是科幻道具，它每天都在医院上班。

从纸面到云室

这个预言的诞生过程并不体面。Dirac 起初不敢发明新粒子， 提议空穴「就是质子」——毕竟当时已知的正电荷粒子只有它。 这个念头很快被数学处死：Weyl 证明空穴的质量必须严格等于电子质量， 而质子重了 1836 倍；何况「氢原子里的电子掉进自家质子空穴」意味着氢原子 会自发湮灭。1931 年 Dirac 认命，白纸黑字写下：应存在一种 「实验物理尚未观测到的新粒子，质量与电子相同、电荷相反」。

1932 年，Caltech 的 Carl Anderson 在宇宙线云室照片里看到一条轨迹： 在磁场中的弯曲方向表明带正电，但电离密度和曲率半径表明质量远小于质子—— 与电子一致。为了确定粒子飞行方向，他在云室中间加了一块 6 mm 铅板： 粒子穿板后能量降低、轨迹弯得更厉害，方向由此锁死，电荷符号再无二话。 正电子（positron）就此登场——人类第一次先在方程里、后在自然界里 找到一种粒子。Dirac 1933 年、Anderson 1936 年先后获诺贝尔奖。

拆掉脚手架：现代视角

Dirac 海立了大功，但它是脚手架，不是大厦。三处硬伤：

  1. 无限大的背景。 满海携带无限大的负能量与无限大的电荷密度， 全靠「观测不到均匀背景」一句话搪塞；引力可不答应——能量再均匀也产生引力。
  2. 玻色子怎么办？ KG 方程同样有负能解，但自旋 0 的粒子不服从泡利不相容， 「填满海」的招数原则上失效。可 π 介子照样有反粒子 —— 解释显然没抓到根子。
  3. 不对称的记账。 电子是「粒子」、正电子是「洞」，可实验里两者地位完全对称。

本节关键公式

  • 负能灾难

    E=−p2c2+m2c4  ⇒  能谱无下界E=-\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}\;\Rightarrow\;\text{能谱无下界}

    若不处理，原子在纳秒量级级联坠落

  • Dirac 海

    ∣真空⟩=∏E<0∣占据⟩\ket{\text{真空}}=\prod_{E<0}\ket{\text{占据}}

    泡利不相容堵死下跌通道；只对费米子有效

  • 空穴 = 反粒子

    缺(−∣E∣, −e)  ≡  多(+∣E∣, +e)\text{缺}(-|E|,\,-e)\;\equiv\;\text{多}(+|E|,\,+e)

    质量与电子严格相等——排除「空穴是质子」

  • 造对与湮灭

    Eγ≥2mc2=1.022 MeV,e+e−→2γ (511 keV)E_\gamma\geq2mc^2=1.022\ \text{MeV},\qquad e^+e^-\to2\gamma\,(511\ \text{keV})

    511 keV 背靠背光子：PET 成像的物理基础

自测共 4 题

  1. 1.

    如果不处理负能解，Dirac 理论预言的直接灾难是：

  2. 2.

    Dirac 海方案中，阻止电子跌入负能级的机制是：

  3. 3.

    关于正电子的预言与发现，正确的是：（多选）

    多选题

  4. 4.

    光子造出一对正负电子的能量门槛是 2mc²。取电子 mc²=0.511 MeV，求门槛能量（MeV）。

    MeV允许 1% 相对误差

接下来

自旋从代数里冒出来（12.3），反粒子从负能解里冒出来（本节）—— Dirac 方程的礼物还没送完。最后一件，也是被实验验证得最精密的一件： 电子的磁矩。把 Dirac 方程放进磁场里取非相对论极限， 会自动掉出 g=2g=2；再往下展开一阶，6.6 节里手工添加的精细结构三件套 （相对论修正、自旋轨道耦合、Darwin 项）将一次性全部自动出现。

全站第 88 / 106 节 · 用 ← → 翻页