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8.5

二次量子化入门

反对称化波函数的项数按 N! 爆炸，但其中的信息只有「每个态上有几个粒子」。占据数表象把行列式压缩成一行，产生湮灭算符把对称性变成代数——这是通往多体物理与量子场论的门。

建议先掌握

学完本节你应该能

  • 说明占据数表象为什么是全同粒子的「正确」记账方式
  • 写出玻色子的对易关系与费米子的反对易关系，并解释差别的来源
  • 证明费米子占据数只能取 0 或 1，即泡利不相容的代数版本
  • 把单体与二体哈密顿量用产生湮灭算符改写，并读懂每一项的物理含义

上一节结尾算了一笔绝望的账：26 个电子的反对称波函数按乘积态展开有 26!≈4×102626!\approx4\times10^{26} 项。别说求解，光是写下来都超出了宇宙的存储能力。

但先别急着绝望，看看这些项里到底有多少信息。

记账太累，是因为账本记了不该记的东西

以 3 个费米子占据轨道 ϕa,ϕb,ϕc\phi_a,\phi_b,\phi_c 为例，Slater 行列式展开有 6 项。 这 6 项是什么关系？同一句话的 6 种说法。 每一项都在说 「a,b,ca,b,c 三个轨道各住一个粒子」，只是把「哪个粒子住哪间」排列了一遍—— 而 8.1 节 的第一课就是： 粒子没有标签，「哪个粒子」根本不是一个合法问题。

N!N! 项的爆炸，是我们坚持用带标签的语言描述无标签的世界付出的翻译税。 整个态的实际信息量只有一句话：

轨道 aa：1 个粒子；轨道 bb：1 个粒子；轨道 cc：1 个粒子；其余：0 个。

那就让记号只记这句话。取定一组单粒子轨道 {ϕ1,ϕ2,… }\{\phi_1,\phi_2,\dots\}，定义占据数表象：

∣n1,n2,n3,… ⟩(8.5.1)\ket{n_1,n_2,n_3,\dots}\tag{8.5.1}

其中 nin_i 是轨道 ϕi\phi_i 上的粒子数。上面那个 6 项的行列式变成 ∣1,1,1,0,0,… ⟩\ket{1,1,1,0,0,\dots}； 10!=3 628 80010!=3\,628\,800 项的十粒子态也只是 ∣1,1,…,1,0,… ⟩\ket{1,1,\dots,1,0,\dots}。 对称化、反对称化的所有细节都内置在这个记号的定义里 （约定它就代表那个归一化的行列式或对称和），不必再手写。

这些态张成的空间叫 Fock 空间——它把「0 个粒子」（真空态 ∣0⟩\ket{0}）、 「1 个粒子」「2 个粒子」……的态空间全部并在一起。粒子数第一次成了一个量子数， 而不是理论的前提。

在轨道之间搬运粒子：产生与湮灭算符

新记号需要配套的算符。定义产生算符 a^i†\hat a_i^\dagger：往轨道 ϕi\phi_i 添一个粒子； 湮灭算符 a^i\hat a_i：从轨道 ϕi\phi_i 拿走一个粒子（没有可拿的就给零）。

这套代数似曾相识——2.9 节 的谐振子里， a^†,a^\hat a^\dagger,\hat a 在能级的梯子上爬上爬下。那里「升一级」， 这里读作「这个模式里多一个量子」。谐振子的梯子就是单个模式的占据数， 现在只是给每个轨道各配一架梯子。

对玻色子，照搬谐振子的对易关系，每个轨道一套，不同轨道互相独立：

[a^i,a^j†]=δij,[a^i,a^j]=[a^i†,a^j†]=0(8.5.2)[\hat a_i,\hat a_j^\dagger]=\delta_{ij},\qquad [\hat a_i,\hat a_j]=[\hat a_i^\dagger,\hat a_j^\dagger]=0\tag{8.5.2}

矩阵元也照搬：a^i†∣…,ni,… ⟩=ni+1 ∣…,ni+1,… ⟩\hat a_i^\dagger\ket{\dots,n_i,\dots}=\sqrt{n_i+1}\,\ket{\dots,n_i+1,\dots}， nin_i 可以取到任意大——玻色子爱扎堆，n+1\sqrt{n+1} 因子还会奖励扎堆 （受激辐射强于自发辐射的根源就在这个因子）。

对费米子，必须把反对称性编进代数。正确的选择是把对易换成反对易 （记 {A^,B^}=A^B^+B^A^\{\hat A,\hat B\}=\hat A\hat B+\hat B\hat A）：

{c^i,c^j†}=δij,{c^i,c^j}={c^i†,c^j†}=0(8.5.3)\{\hat c_i,\hat c_j^\dagger\}=\delta_{ij},\qquad \{\hat c_i,\hat c_j\}=\{\hat c_i^\dagger,\hat c_j^\dagger\}=0\tag{8.5.3}

为什么是反对易？看 i≠ji\ne j 的情形：c^i†c^j†=−c^j†c^i†\hat c_i^\dagger\hat c_j^\dagger=-\hat c_j^\dagger\hat c_i^\dagger—— 先填 jj 再填 ii，与先填 ii 再填 jj，差一个负号。这正是交换两个粒子变号的反对称性， 现在成了算符的语法规则，想违反都写不出来。

泡利不相容，两行代数基础~6 min

第一步：同一轨道放两个费米子。 在反对易关系里取 i=ji=j：

{c^i†,c^i†}=2(c^i†)2=0⟹(c^i†)2=0(8.5.4)\{\hat c_i^\dagger,\hat c_i^\dagger\}=2(\hat c_i^\dagger)^2=0 \quad\Longrightarrow\quad(\hat c_i^\dagger)^2=0\tag{8.5.4}

往同一轨道产生两个粒子，得到零矢量——不是某个高能态，是没有这个态。 8.3 节用行列式说的那句话，在这里是一行代数。

第二步：占据数只能是 0 或 1。 定义粒子数算符 n^i=c^i†c^i\hat n_i=\hat c_i^\dagger\hat c_i，算它的平方：

n^i2=c^i†c^ic^i†c^i=c^i†(1−c^i†c^i)c^i=c^i†c^i−c^i†c^i†c^ic^i(8.5.5)\hat n_i^2=\hat c_i^\dagger\hat c_i\hat c_i^\dagger\hat c_i =\hat c_i^\dagger\bigl(1-\hat c_i^\dagger\hat c_i\bigr)\hat c_i =\hat c_i^\dagger\hat c_i-\hat c_i^\dagger\hat c_i^\dagger\hat c_i\hat c_i\tag{8.5.5}

第一步用了 c^ic^i†=1−c^i†c^i\hat c_i\hat c_i^\dagger=1-\hat c_i^\dagger\hat c_i（反对易关系的 i=ji=j 分量）。 末项含 (c^i†)2=0(\hat c_i^\dagger)^2=0，于是

n^i2=n^i⟹ni(ni−1)=0⟹ni∈{0,1}(8.5.6)\hat n_i^2=\hat n_i\quad\Longrightarrow\quad n_i(n_i-1)=0\quad\Longrightarrow\quad n_i\in\{0,1\}\tag{8.5.6}

本征值方程 n2=nn^2=n 只有两个根。泡利不相容原理 = 费米算符的反对易关系， 不多不少。对比玻色子：[a^i,a^i†]=1[\hat a_i,\hat a_i^\dagger]=1 给出 ni=0,1,2,…n_i=0,1,2,\dots 无上限。

第三步（记账细节）：符号约定。 费米算符作用时带一个跟踪负号：

c^i†∣n1,…,ni,… ⟩=(−1)∑j<inj (1−ni)∣n1,…,ni+1,… ⟩(8.5.7)\hat c_i^\dagger\ket{n_1,\dots,n_i,\dots}=(-1)^{\sum_{j<i}n_j}\,(1-n_i)\ket{n_1,\dots,n_i+1,\dots}\tag{8.5.7}

(−1)∑j<inj(-1)^{\sum_{j<i}n_j} 数的是排在 ii 前面的已占轨道数——它保证多次操作的结果 与行列式展开逐项一致。好消息是：实际计算里几乎从不手写它，反对易关系会自动照管一切。

把哈密顿量翻译过来

新语言要能干活，得会写哈密顿量。规则不加证明地给出（验证方法：两边夹在占据数态之间比较矩阵元）。

单体项（动能、外势——每次只「摸」一个粒子的算符）：

H^1=∑ijhij a^i†a^j,hij=∫ϕi∗(r⃗)[−ℏ22m∇2+V(r⃗)]ϕj(r⃗) d3r(8.5.8)\hat H_1=\sum_{ij}h_{ij}\,\hat a_i^\dagger\hat a_j, \qquad h_{ij}=\int\phi_i^*(\vec{r})\Bigl[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\vec{r})\Bigr]\phi_j(\vec{r})\,\dd^3r\tag{8.5.8}

二体项（粒子间相互作用）：

H^2=12∑ijklVijkl a^i†a^j†a^la^k,Vijkl=∫ϕi∗(r⃗)ϕj∗(r⃗ ′) U(r⃗−r⃗ ′) ϕk(r⃗)ϕl(r⃗ ′) d3r d3r′(8.5.9)\hat H_2=\frac12\sum_{ijkl}V_{ijkl}\,\hat a_i^\dagger\hat a_j^\dagger\hat a_l\hat a_k, \qquad V_{ijkl}=\int\phi_i^*(\vec{r})\phi_j^*(\vec{r}\,')\,U(\vec{r}-\vec{r}\,')\,\phi_k(\vec{r})\phi_l(\vec{r}\,')\,\dd^3r\,\dd^3r'\tag{8.5.9}

物理图像

每一项都是一幅小漫画。 a^i†a^j\hat a_i^\dagger\hat a_j：从轨道 jj 拿走一个粒子、 放进轨道 ii——一次「跳跃」，振幅 hijh_{ij}。对角项 hiin^ih_{ii}\hat n_i 只是数一数 ii 上有几个粒子、各收一份能量 hiih_{ii}。

a^i†a^j†a^la^k\hat a_i^\dagger\hat a_j^\dagger\hat a_l\hat a_k：两个粒子从 k,lk,l 出发， 碰一下，散射到 i,ji,j——振幅 VijklV_{ijkl}。

整个哈密顿量成了一张「过程清单」：哪些跳跃和碰撞被允许、各自振幅多大。 多体物理的图像语言（费曼图是它的极致）由此起步。

数学形式

特例检验：无相互作用体系。 取 ϕi\phi_i 为单粒子哈密顿量的本征轨道， 则 hij=εiδijh_{ij}=\varepsilon_i\delta_{ij}，

H^=∑iεi n^i(8.5.10)\hat H=\sum_i\varepsilon_i\,\hat n_i\tag{8.5.10}

总能量 = 各轨道能量 × 占据数，一目了然。8.3 节的费米气基态在这套语言里是

∣FS⟩=∏∣k⃗∣≤kFc^k⃗†∣0⟩(8.5.11)\ket{\text{FS}}=\prod_{|\vec k|\le k_F}\hat c_{\vec k}^\dagger\ket{0}\tag{8.5.11}

（把费米球内的模式逐个填满）。同一个态，行列式语言里是 ∼1023\sim10^{23} 阶的行列式。

本节关键公式

  • 占据数表象

    ∣n1,n2,… ⟩ ∈ Fock 空间\ket{n_1,n_2,\dots}\ \in\ \text{Fock 空间}

    只记「每个轨道几个粒子」；(反)对称化内置于定义

  • 玻色子代数

    [a^i,a^j†]=δij,a^i†∣ni⟩=ni+1 ∣ni+1⟩[\hat a_i,\hat a_j^\dagger]=\delta_{ij},\quad \hat a_i^\dagger\ket{n_i}=\sqrt{n_i+1}\,\ket{n_i+1}

    n 无上限；√(n+1) 因子是受激辐射的根源

  • 费米子代数

    {c^i,c^j†}=δij,(c^i†)2=0\{\hat c_i,\hat c_j^\dagger\}=\delta_{ij},\quad(\hat c_i^\dagger)^2=0

    反对易 = 交换变号；平方为零 = 泡利不相容

  • 哈密顿量

    H^=∑ijhija^i†a^j+12∑ijklVijkl a^i†a^j†a^la^k\hat H=\sum_{ij}h_{ij}\hat a_i^\dagger\hat a_j+\frac12\sum_{ijkl}V_{ijkl}\,\hat a_i^\dagger\hat a_j^\dagger\hat a_l\hat a_k

    单体 = 跳跃；二体 = 两粒子散射

自测共 4 题

  1. 1.

    为什么占据数表象能把 N! 项的反对称波函数压缩成一个记号而不丢信息？

  2. 2.

    费米子占据数只能取 0 或 1，代数上的直接原因是：

  3. 3.

    10 个费米子占据 10 个确定的轨道。把这个态的 Slater 行列式按乘积态完全展开，共有多少项？（占据数表象里它只是一个记号 |1,1,…,1,0,…⟩）

    项允许 0% 相对误差
  4. 4.

    关于二次量子化，正确的说法是：（多选）

    多选题

接下来

语言备齐了，回到那个悬而未决的实际问题：多电子原子到底怎么算？ 氦原子已经让微扰论和变分法（第 7 章）使出了浑身解数；碳有 6 个电子，铁有 26 个。

下一节引入一个统治了计算物理近百年的思想：别让每个电子面对其他所有电子， 让它面对一团「平均电子云」——再让这团云和轨道互相喂养、迭代到自洽。 Hartree–Fock 方法：多体问题的第一个能真正动手算的答案。

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