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5.4

Stern-Gerlach 实验深度解析

一束银原子穿过不均匀磁场分成两束。把三台这样的装置串起来，量子测量的全部脾气都会现形。

建议先掌握

学完本节你应该能

  • 解释不均匀磁场为什么充当 S_z 的测量仪，以及「两条痕迹」意味着什么
  • 逐步算出三种级联 SG 配置的输出比例
  • 说明「测 x 会抹掉 z 的记忆」如何体现不对易与投影公设
  • 用重组实验说明「贴标签」式的朴素隐变量模型为何站不住

上一节给了自旋一套干净利落的数学：任何方向测都只有 ±ℏ2\pm\tfrac\hbar2 两种答案。 这听起来太整齐了,不像是真实世界的作风。这一节看实验——量子力学史上 「一个装置讲清一门课」的最佳案例。

1922 年：一束银原子与两条痕迹

Otto Stern 和 Walther Gerlach 在法兰克福做了这样一件事： 把银在炉子里加热蒸发，让银原子穿过狭缝形成一束， 飞过一块上尖下平的磁铁（关键：磁场不均匀，越靠近尖极越强）， 最后落在玻璃板上显影。

为什么要不均匀？磁矩 μ⃗\vec\mu 在磁场中的能量是 U=−μ⃗⋅B⃗U=-\vec\mu\cdot\vec B。 均匀场只会让磁矩转向（力矩），不产生净力；不均匀场才有力：

Fz=−∂U∂z=μz∂Bz∂z(5.4.1)F_z=-\frac{\partial U}{\partial z}=\mu_z\frac{\partial B_z}{\partial z}\tag{5.4.1}

力的方向由 μz\mu_z 的符号决定，大小正比于 μz\mu_z 的值。 于是玻璃板上的落点位置就是 μz\mu_z 的读数—— 而银原子的磁矩正比于其孤单价电子的自旋（银的 47 个电子中 46 个配对抵消， 剩下的一个恰好处在 l=0l=0 的轨道上，轨道角动量帮不上忙也捣不了乱—— 银是大自然赠送的纯自旋测量样品）。所以：这台装置就是一台 S^z\hat S_z 测量仪， 落点就是指针。

现在对比两种预言：

  • 经典预言：炉子里出来的原子磁矩方向随机，μz\mu_z 从 −μ-\mu 连续分布到 +μ+\mu， 玻璃板上应是一条连续的竖直污带。
  • 实际结果：污带没有出现。银原子整整齐齐分成两簇，中间空白。

两簇，不多不少。对照上一节：2s+1=22s+1=2 给出 s=12s=\tfrac12， 每个原子的 SzS_z 只能是 +ℏ2+\tfrac\hbar2 或 −ℏ2-\tfrac\hbar2，没有中间值。 空间中的取向是量子化的——这个现象因此得名「空间量子化」。

把装置串起来：三种配置

单台装置只是量子化的证据。真正的教科书级冲击来自级联： 把一台 SG 的某个输出束送进下一台。约定记号：SGz 表示磁场沿 z 的装置， SGx 沿 x；每台有两个出口，标 ++ 和 −-。

三种级联配置逐一计算基础~10 min

工具就三样：S^z\hat S_z 基 ∣↑⟩,∣↓⟩\ket{\uparrow},\ket{\downarrow}；上一节解出的 S^x\hat S_x 本征态

∣+x⟩=∣↑⟩+∣↓⟩2,∣−x⟩=∣↑⟩−∣↓⟩2(5.4.2)\ket{+x}=\frac{\ket{\uparrow}+\ket{\downarrow}}{\sqrt2},\qquad \ket{-x}=\frac{\ket{\uparrow}-\ket{\downarrow}}{\sqrt2}\tag{5.4.2}

（在任意方向公式里取 θ=π2\theta=\tfrac\pi2、ϕ=0\phi=0 或 π\pi 即得）； 以及 3.8 节的投影公设： 测量概率是振幅的模平方，测后态是对应的本征态。

配置一：SGz → SGz。核对仪器的一致性。

炉子出来的原子送入第一台 SGz，随机得到两束；只保留 ++ 口的束 （态被投影为 ∣↑⟩\ket{\uparrow}），送入第二台 SGz。概率：

P(+)=∣⟨↑|↑⟩∣2=1,P(−)=∣⟨↓|↑⟩∣2=0(5.4.3)P(+)=|\braket{\uparrow}{\uparrow}|^2=1,\qquad P(-)=|\braket{\downarrow}{\uparrow}|^2=0\tag{5.4.3}

输出：100%100\% 从 ++ 口出。 重复测量同一可观测量结果可重复—— 投影公设的「可重复性」条款。仪器自洽，不是随机数发生器。

配置二：SGz → SGx。换个方向问问题。

还是那束 ∣↑⟩\ket{\uparrow}，送进 SGx。把它改写到 S^x\hat S_x 的基：

∣↑⟩=∣+x⟩+∣−x⟩2(5.4.4)\ket{\uparrow}=\frac{\ket{+x}+\ket{-x}}{\sqrt2}\tag{5.4.4}

（把 ∣±x⟩\ket{\pm x} 的定义式相加即可验证。）于是

P(+x)=∣⟨+x|↑⟩∣2=∣12∣2=12,P(−x)=12(5.4.5)P(+x)=\left|\braket{+x}{\uparrow}\right|^2=\left|\tfrac1{\sqrt2}\right|^2=\frac12, \qquad P(-x)=\frac12\tag{5.4.5}

输出：50%:50%50\%:50\%，逐个原子完全随机。 一个 SzS_z 确定的态， 对「SxS_x 是多少」这个问题没有答案，只有概率—— 因为 [S^z,S^x]≠0[\hat S_z,\hat S_x]\ne0，两者没有共同本征态。

配置三：SGz → SGx → SGz。撒手锏。

接着配置二，只保留 SGx 的 ++ 口——这束原子的态已被投影为 ∣+x⟩\ket{+x}。 现在把它送回第三台 SGz。天真的想法：这些原子早在第一台就「验明正身」全是 Sz=+ℏ2S_z=+\tfrac\hbar2，中间只是测了个不相干的 SxS_x，所以应该 100%100\% 从 ++ 口出。

算一下。当前态是 ∣+x⟩=(∣↑⟩+∣↓⟩)/2\ket{+x}=(\ket{\uparrow}+\ket{\downarrow})/\sqrt2：

P(+)=∣⟨↑|+x⟩∣2=12,P(−)=∣⟨↓|+x⟩∣2=12(5.4.6)P(+)=\left|\braket{\uparrow}{+x}\right|^2=\frac12,\qquad P(-)=\left|\braket{\downarrow}{+x}\right|^2=\frac12\tag{5.4.6}

输出：50%:50%50\%:50\%。有一半原子的 SzS_z 是 −ℏ2-\tfrac\hbar2—— 尽管这束原子的每一个都曾被第一台装置确认为 Sz=+ℏ2S_z=+\tfrac\hbar2， 且中途没人碰过它们的 z 方向。

综合三步的存活比例：炉子 → SGz 取 ++（12\tfrac12）→ SGx 取 ++（12\tfrac12）→ SGz 出 −- 口（12\tfrac12），最终 18\tfrac18 的原子走完这条「不可能」的路。

配置三就是不对易的物理肉身：测 SxS_x 这个动作本身，抹掉了 SzS_z 的记忆。 投影到 ∣+x⟩\ket{+x} 之后，态里关于「曾经是 ∣↑⟩\ket{\uparrow}」的信息一个比特都不剩—— ∣+x⟩\ket{+x} 就是 ∣+x⟩\ket{+x}，不管它是从哪束投影来的。 SzS_z 和 SxS_x 的确定性像跷跷板：按下一头，另一头必然翘起。

「也许原子只是带着标签？」——朴素隐变量的溃败

面对配置三，一个自然的抵抗是：随机性也许只是我们无知。 设想每个原子出厂时带一张标签，写好对每个方向的问题该答什么， 比如「z 问就答 ++，x 问就答 −-」。测量只是读出标签， 配置三的 50:50 只反映标签的统计分布。这样就不需要什么「测量改变状态」了。

这个模型可以解释单次测量的两簇，甚至能凑出配置二的 50:50。 但有一个升级版实验它过不去。

物理图像

重组实验（哪条路都不看）。

把 SGx 改装一下：让 +x+x 和 −x-x 两束都不挡， 用反向磁场把它们无损地合拢回一束，中途不放任何探测器—— 装置分了束，但没有「看」结果。然后送入 SGz。

标签模型的预言很明确：每个原子总归走了两条路中的一条， 走哪条都不影响它标签上「z 该答什么」， 而进来的原子全是第一台筛过的 z:+z:+。所以输出应当 100%100\% 朝上…… 等等，标签模型里测 x 也不改标签，那配置三也该 100%？ 标签论者只好补丁：「经过 SGx 的磁场会随机重写 z 标签」。 好，那重组实验里原子同样穿过了那些磁场， 补丁预言重组后也该是 50:50。

量子力学的预言：100%100\% 朝上。

数学形式

量子计算：分束不等于测量。

没有探测器，就没有投影。整个过程是幺正演化，两条路径的振幅都保留：

∣↑⟩=12∣+x⟩+12∣−x⟩ → 分开再合拢  12∣+x⟩+12∣−x⟩=∣↑⟩(5.4.7)\ket{\uparrow} =\frac1{\sqrt2}\ket{+x}+\frac1{\sqrt2}\ket{-x} \ \xrightarrow{\ \text{分开再合拢}\ }\ \frac1{\sqrt2}\ket{+x}+\frac1{\sqrt2}\ket{-x}=\ket{\uparrow}\tag{5.4.7}

两条路径相干叠加，合拢时干涉恢复出原态，P(+)=1P(+)=1。

只有当你在某条路上放了探测器（哪怕不看读数）， 纠缠进环境的那一刻叠加才塌成非此即彼，输出退回 50:50。

实验站在量子力学一边。破坏 z 记忆的不是磁场的物理扰动， 而是路径信息被记录这件事本身。

这类「原子自带一份对所有问题的答案表」的模型——非语境的隐变量—— 在这里已经左支右绌；第 9 章的 Bell 不等式会把它连同所有局域版本一起正式送葬。 现在记住实验事实就够了：不对易的可观测量的取值不是预先存在、等着被读出的。

本节关键公式

  • SG 的力

    Fz=μz ∂Bz∂zF_z=\mu_z\,\frac{\partial B_z}{\partial z}

    不均匀场把 μ_z 的值翻译成偏转位移——落点即读数

  • 基变换

    ∣±x⟩=12(∣↑⟩±∣↓⟩)\ket{\pm x}=\tfrac{1}{\sqrt2}\big(\ket{\uparrow}\pm\ket{\downarrow}\big)

    一切级联计算的全部工具

  • 级联概率

    P=∣⟨出口|入射⟩∣2P=\lvert\braket{\text{出口}}{\text{入射}}\rvert^2

    z+ → x：50/50；z+ → x+ → z：50/50，z 记忆被抹除

  • 重组恒等式

    12∣+x⟩+12∣−x⟩=∣↑⟩\tfrac1{\sqrt2}\ket{+x}+\tfrac1{\sqrt2}\ket{-x}=\ket{\uparrow}

    不记录路径则振幅相干合拢，100% 恢复原态

自测共 4 题

  1. 1.

    为什么 SG 实验必须用不均匀磁场？

  2. 2.

    配置三（SGz 取 + → SGx 取 + → SGz）中，第三台居然测出一半原子 S_z 朝下。原因是：

  3. 3.

    重组实验（SGx 分束后无测量地合拢）输出 100% 恢复 |↑⟩。这说明：（多选）

    多选题

  4. 4.

    一束 S_z = +ħ/2 的原子先通过 SGx（保留 +x 口），再通过 SGz。最终从 SGz 的「−」口出射的原子占入射束的比例是多少？

    允许 1% 相对误差

接下来

到目前为止，SG 装置回答的都是「某一瞬间自旋朝哪」。 但在两次测量之间，自旋在做什么？

把原子放进均匀磁场（这回不需要梯度——我们不测量，只演化）， 自旋的期望值会像陀螺一样绕着磁场转圈。这个转动不但能算、能测， 还是核磁共振和医院 MRI 的全部原理——下一节就讲它。

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