11.3 从路径积分到薛定谔方程

上一节我们算出了自由粒子传播子，代回去检验它满足薛定谔方程——但那只是一个例子。现在要还一笔更大的账：第 2 章我们把薛定谔方程当公设接受下来；这一节要证明，只要接受「所有路径求和、每条贡献 $\ee^{\ii S/\hbar}$ 」这一条规则，薛定谔方程就不再是公设，而是推论。这是 Feynman 1948 年论文的核心计算，每一步都只用大一微积分。

策略：只看一小段时间

直接处理有限时间的路径积分很难（一般势场下积不出来）。但微分方程说的本来就是「下一瞬间发生什么」——所以我们只需要短时行为。

取一小段时间 $\varepsilon$ 。切片定义里，这一段本来就只有一步：粒子从 $x'$ 直线走到 $x$ 。这一步的作用量按折线规则是

S_\varepsilon\approx\frac{m(x-x')^2}{2\varepsilon}-\varepsilon V\!\Bigl(\frac{x+x'}{2}\Bigr)\tag{11.3.1}

动能项用平均速度 $(x-x')/\varepsilon$ ，势能项用中点的值乘以时长（ $\varepsilon$ 的一阶精度下，取中点、端点还是平均值都不影响结果——见文末的警告框）。于是短时传播子为

K_\varepsilon(x,x')=\sqrt{\frac{m}{2\pi\ii\hbar\varepsilon}}\, \exp\!\left[\frac{\ii m(x-x')^2}{2\hbar\varepsilon}-\frac{\ii\varepsilon}{\hbar}V\!\Bigl(\frac{x+x'}{2}\Bigr)\right]\tag{11.3.2}

演化公式在这一小步上写成积分方程：

\Psi(x,t+\varepsilon)=\int_{-\infty}^{\infty}K_\varepsilon(x,x')\,\Psi(x',t)\,\dd x'\tag{11.3.3}

接下来整个游戏就是：把两边都展开到 $\varepsilon$ 的一阶，看看逼出什么方程。

哪些 x′ 真的有贡献？

物理图像

先看清积分的结构再动手。 被积函数里最凶的因子是

\exp\!\left[\frac{\ii m(x-x')^2}{2\hbar\varepsilon}\right]\tag{11.3.4}

当 $x'$ 离 $x$ 较远时， $(x-x')^2/\varepsilon$ 很大，这个相位随 $x'$ 疯狂振荡，贡献互相抵消——正是上上节的驻相机制在一小步里的翻版。

真正存活下来的是相位变化不超过 $\sim1$ 的范围：

\frac{m(x-x')^2}{2\hbar\varepsilon}\lesssim1 \;\Longrightarrow\; |x-x'|\lesssim\sqrt{\frac{2\hbar\varepsilon}{m}}\tag{11.3.5}

一步 $\varepsilon$ 里粒子只「探测」身边 $\sqrt{\hbar\varepsilon/m}$ 的邻域。这就是为什么下面可以放心对 $x'-x$ 做泰勒展开。

数学形式

顺手读出一个惊人的性质。 一步的典型位移 $\delta x\sim\sqrt{\hbar\varepsilon/m}$ ，于是典型「速度」

\frac{\delta x}{\varepsilon}\sim\sqrt{\frac{\hbar}{m\varepsilon}} \xrightarrow{\ \varepsilon\to0\ }\infty\tag{11.3.6}

位移 $\propto\sqrt{\varepsilon}$ 而不是 $\propto\varepsilon$ —— 这正是布朗运动（扩散过程）的标度。路径积分里的典型路径处处连续、处处不可导，瞬时速度根本没有定义。这与不确定性原理一拍即合：时间切得越细等于位置盯得越紧，动量就越失控。

推导

从短时传播子到薛定谔方程进阶~12 min

第一步：换变量。 令 $\eta=x'-x$ （这一步的位移），积分方程变成

\Psi(x,t+\varepsilon)=\sqrt{\frac{m}{2\pi\ii\hbar\varepsilon}} \int\dd\eta\;\ee^{\ii m\eta^2/2\hbar\varepsilon}\; \ee^{-\ii\varepsilon V(x+\eta/2)/\hbar}\;\Psi(x+\eta,t)\tag{11.3.7}

第二步：数一数各因子的量级。 有效的 $\eta\sim\sqrt{\hbar\varepsilon/m}$ ，所以 $\eta^2\sim\varepsilon$ ：要保留 $\varepsilon$ 一阶， $\Psi$ 必须展开到 $\eta$ 的二阶—— 这是整个推导最要紧的一个判断（也是二阶空间导数的来源）：

\Psi(x+\eta,t)=\Psi+\eta\,\partial_x\Psi+\frac{\eta^2}2\,\partial_x^2\Psi+O(\eta^3)\tag{11.3.8}

势能因子里 $\varepsilon V$ 已经是一阶小量，展开时 $V(x+\eta/2)\to V(x)$ 即可：

\ee^{-\ii\varepsilon V/\hbar}=1-\frac{\ii\varepsilon}{\hbar}V(x)+O(\varepsilon^2)\tag{11.3.9}

第三步：逐项做高斯积分。 需要三个矩（都是标准高斯积分， $\alpha\equiv m/2\hbar\varepsilon$ ）：

\int\ee^{\ii\alpha\eta^2}\dd\eta=\sqrt{\frac{\pi\ii}{\alpha}},\qquad \int\eta\,\ee^{\ii\alpha\eta^2}\dd\eta=0,\qquad \int\eta^2\,\ee^{\ii\alpha\eta^2}\dd\eta=\frac{\ii}{2\alpha}\sqrt{\frac{\pi\ii}{\alpha}}\tag{11.3.10}

（第二个因奇函数为零；第三个可由第一个对 $\alpha$ 求导得到。）代入 $\alpha=m/2\hbar\varepsilon$ ：零阶矩恰好消去前面的归一化系数 $\sqrt{m/2\pi\ii\hbar\varepsilon}$ ——总系数为 1；二阶矩额外带来因子 $\ii\hbar\varepsilon/m$ 。

第四步：收集到 ε 一阶。 逐项相乘、只留 $\varepsilon^1$ ：

\Psi(x,t+\varepsilon)=\Psi(x,t) +\frac{\ii\hbar\varepsilon}{2m}\,\partial_x^2\Psi -\frac{\ii\varepsilon}{\hbar}V(x)\,\Psi +O(\varepsilon^2)\tag{11.3.11}

（交叉项如 $\varepsilon V\times\eta^2\partial_x^2\Psi$ 都是 $\varepsilon^2$ 量级，扔掉。）

第五步：取极限。 左边写成 $\Psi(x,t)+\varepsilon\,\partial_t\Psi+O(\varepsilon^2)$ ，两边消去 $\Psi(x,t)$ 、除以 $\varepsilon$ 、令 $\varepsilon\to0$ ，再整体乘 $\ii\hbar$ ：

\boxed{\;\ii\hbar\,\frac{\partial\Psi}{\partial t} =-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+V(x)\,\Psi\;}\tag{11.3.12}

薛定谔方程。第 2 章的公设，在这里变成了定理。

每一项都有出处

回头看这台机器的零件是怎么咬合的，很值得：

$\ii\hbar\partial_t$ ：来自把一步演化展开到 $\varepsilon$ 一阶——时间的一阶导数对应「一步」的结构。
动能项 $-\frac{\hbar^2}{2m}\partial_x^2$ ：来自动能相位 $\ee^{\ii m\eta^2/2\hbar\varepsilon}$ 的二阶矩。路径抖得越凶（ $\partial_x^2\Psi$ 越大），这项越大——动能算符测量的正是波函数的「弯曲程度」，与 2.3 节的读法完全呼应。
势能项 $V\Psi$ ：来自 $\ee^{-\ii\varepsilon V/\hbar}$ 的一阶展开—— 待在势场里的每一瞬都在积累相位。

系数不多不少刚好对上，依赖于归一化常数 $A=\sqrt{2\pi\ii\hbar\varepsilon/m}$ 取上一节由拼接自洽性定出的那个值。三处来源、一台方程，严丝合缝。

两个技术性的坑

势能取在哪一点？ 我们用了中点 $V\bigl((x+x')/2\bigr)$ 。在 $\varepsilon$ 一阶精度下取端点也一样——因为 $V(x+\eta/2)-V(x)\sim\eta\sim\sqrt\varepsilon$ ，乘上已有的 $\varepsilon$ 后是高阶小量。但一旦势依赖速度（比如磁场中的 $\vec A\cdot\dot{\vec x}$ 项），中点规则就不再是可选项而是必须——不同取法差出的正是算符排序的歧义。这是路径积分与算符语言的对应里最著名的细节。
展开阶数要数对。 初学最容易犯的错是把 $\Psi(x+\eta)$ 只展开到 $\eta$ 一阶—— 那样动能项直接丢失。判断标准始终是「 $\eta^2\sim\varepsilon$ 」：凡是最后要留 $\varepsilon^1$ 的地方， $\eta$ 就要留到二阶。

至此三种表述正式会师：Heisenberg 的矩阵（1925）、Schrödinger 的波动方程（1926）、 Feynman 的路径求和（1948）——三套形式语言，同一个量子力学。第 3 章证明了前两者等价，本节补上了第三块拼图。

本节关键公式

短时传播子
$K_\varepsilon=\sqrt{\frac{m}{2\pi\ii\hbar\varepsilon}}\,\exp\Bigl[\frac{\ii m(x-x')^2}{2\hbar\varepsilon}-\frac{\ii\varepsilon}{\hbar}V\Bigr]$
ε 一阶精确；一切从它展开
有效位移范围
$|x-x'|\sim\sqrt{\hbar\varepsilon/m}$
高斯振荡抑制远处贡献；位移 ∝ √ε 是扩散标度
关键高斯矩
$\int\eta^2\ee^{\ii\alpha\eta^2}\dd\eta=\frac{\ii}{2\alpha}\sqrt{\frac{\pi\ii}{\alpha}}$
η² 矩 → 动能项 −(ħ²/2m)∂ₓ²
推导结论
$\ii\hbar\,\partial_t\Psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\partial_x^2\Psi+V\Psi$
薛定谔方程：从公设降级为路径积分的推论

自测共 4 题

接下来

等价性证完，路径积分似乎只是「重新推了一遍已知的东西」。下一节让它露一手波函数语言很难做到的绝活：把时间旋转到虚轴上去，隧穿问题会变成一个经典力学问题——势垒下面藏着一条名叫「瞬子」的经典路径。

从路径积分到薛定谔方程

建议先掌握

学完本节你应该能

策略：只看一小段时间

哪些 x′ 真的有贡献？

物理图像

数学形式

推导

本节关键公式

自测共 4 题

接下来

策略：只看一小段时间

哪些 x′ 真的有贡献？

◑物理图像

∑数学形式

推导

∎本节关键公式

接下来

物理图像

数学形式

本节关键公式