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7.6

Fermi 黄金规则

末态是一片连续区时，振荡的跃迁概率变成恒定的跃迁速率——一条公式统治了发光、吸收与散射的全部计算。

建议先掌握

学完本节你应该能

  • 解释为什么「末态连续」把 t² 增长与振荡变成恒定速率
  • 完成黄金规则的推导，说清 sinc² 如何在长时间极限下变成能量守恒的 δ 函数
  • 用态密度的语言重写「能量守恒 + 有多少地方可去」这对因素
  • 估算氢 2p→1s 自发辐射寿命的量级（纳秒），并说出黄金规则的适用时间窗

上一节留下一道裂缝。一阶微扰对单个末态给出的概率要么随 t2t^2 疯长（共振时）， 要么来回振荡（失谐时）。可是实验里的激发态原子完全是另一副面孔： 一群 2p 态的氢原子，每纳秒衰变掉固定的比例，数目按 e−t/τ\ee^{-t/\tau} 光滑下降， τ=1.6 ns\tau=1.6\ \text{ns}，不振荡、不加速。「每单位时间固定比例」意味着存在一个 恒定的跃迁速率 Γ\Gamma。这个恒定速率是从哪儿冒出来的？

差别藏在末态的性质里。上一节我们默认跃迁的终点是一个分立态； 但原子发光时，终点是「原子落到 1s 加上一个光子飞出去」—— 光子可以朝任何方向飞、带两种偏振、频率还能在共振峰宽度内取值。 末态不是一个点，是一片连续区。 测量「原子是否已衰变」时我们并不区分 光子往哪飞，所以要把概率对整片连续区求和。就是这次求和，把振荡抹平成了速率。

数一数有多少末态：态密度

对连续区求和，需要先回答「能量在 EE 附近每单位能量间隔里有多少个态」。 这个量叫态密度，记作 ρ(E)\rho(E)：能量落在 EE 与 E+dEE+\dd E 之间的态共有 ρ(E) dE\rho(E)\,\dd E 个。它是个纯粹的「数数」问题，与动力学无关。

最常用的例子：一个粒子（或光子）装在体积 V=L3V=L^3 的大盒子里， 动量被量子化成格点 k⃗=2πL(nx,ny,nz)\vec k=\frac{2\pi}{L}(n_x,n_y,n_z)。 kk 空间里每个态占体积 (2π/L)3(2\pi/L)^3，数出半径 kk 的球壳里的格点数， 再换算到能量，就得到 ρ(E)\rho(E)。对光子（E=ℏckE=\hbar ck，两个偏振）：

ρ光子(E)=VE2π2ℏ3c3(7.6.1)\rho_{\text{光子}}(E)=\frac{V E^2}{\pi^2\hbar^3c^3}\tag{7.6.1}

盒子只是脚手架：物理答案里 VV 总会和矩阵元里的归一化因子 1/V1/V 相消， 最后的速率与盒子大小无关。

从 sinc² 到速率

黄金规则的推导基础~10 min

第一步：把单态概率对连续末态求和。

先取最干净的情形：t=0t=0 时突然接通、之后保持恒定的微扰 V^\hat V （周期微扰 V^cos⁡ωt\hat V\cos\omega t 做完旋转波近似后完全同构，只需 Vfi→Vfi/2V_{fi}\to V_{fi}/2、失谐换成 Δ=ωfi−ω\Delta=\omega_{fi}-\omega）。 上一节的一阶振幅积分给出（记 Δ≡ωfi\Delta\equiv\omega_{fi}）：

Pi→f(t)=∣Vfi∣2ℏ2 t2 sinc2 ⁣(Δt2),sinc x≡sin⁡xx(7.6.2)P_{i\to f}(t)=\frac{|V_{fi}|^2}{\hbar^2}\,t^2\, \mathrm{sinc}^2\!\left(\frac{\Delta t}{2}\right), \qquad \mathrm{sinc}\,x\equiv\frac{\sin x}{x}\tag{7.6.2}

总跃迁概率是对所有末态的和，用态密度把求和写成积分（dEf=ℏ dΔ\dd E_f=\hbar\,\dd\Delta）：

P(t)=∫Pi→f(t) ρ(Ef) dEf=t2ℏ∫∣Vfi∣2ρ sinc2 ⁣(Δt2)dΔ(7.6.3)P(t)=\int P_{i\to f}(t)\,\rho(E_f)\,\dd E_f =\frac{t^2}{\hbar}\int|V_{fi}|^2\rho\, \mathrm{sinc}^2\!\left(\frac{\Delta t}{2}\right)\dd\Delta\tag{7.6.3}

第二步：看清 sinc² 在长时间下的形状。

sinc2(Δt/2)\mathrm{sinc}^2(\Delta t/2) 作为 Δ\Delta 的函数：主峰高 1、宽约 4π/t4\pi/t。 tt 越大，峰越窄——窄到比 ∣Vfi∣2ρ|V_{fi}|^2\rho 随能量变化的任何尺度都窄时， 被积函数里的 ∣Vfi∣2ρ|V_{fi}|^2\rho 在峰内近似是常数，可以按峰中心的值提出积分号：

P(t)≈t2ℏ ∣Vfi∣2ρ ∣Δ=0∫−∞∞sinc2 ⁣(Δt2)dΔ(7.6.4)P(t)\approx\frac{t^2}{\hbar}\,|V_{fi}|^2\rho\,\Big|_{\Delta=0} \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{sinc}^2\!\left(\frac{\Delta t}{2}\right)\dd\Delta\tag{7.6.4}

剩下的积分是标准结果 ∫sinc2u du=π\int\mathrm{sinc}^2u\,\dd u=\pi，换元后等于 2π/t2\pi/t。

第三步：奇迹发生。

P(t)≈t2ℏ⋅2πt⋅∣Vfi∣2ρ=2πℏ ∣Vfi∣2ρ  t(7.6.5)P(t)\approx\frac{t^2}{\hbar}\cdot\frac{2\pi}{t}\cdot|V_{fi}|^2\rho =\frac{2\pi}{\hbar}\,|V_{fi}|^2\rho\;t\tag{7.6.5}

t2t^2 被峰宽的 1/t1/t 削掉一个幂次，总概率随时间线性增长。 线性增长正是「恒定速率」的定义，于是

 Γ=2πℏ ∣Vfi∣2 ρ(Ef)∣Ef=Ei+ℏω (7.6.6)\boxed{\ \Gamma=\frac{2\pi}{\hbar}\,|V_{fi}|^2\,\rho(E_f)\Big|_{E_f=E_i+\hbar\omega}\ }\tag{7.6.6}

这就是 Fermi 黄金规则（推导出它的其实是 Dirac，Fermi 因为在讲义里 称它「黄金规则第二号」而让名字流传了下来——物理学命名史的又一桩冤案）。

发生了什么，用图像复述一遍：单个末态的概率在振荡， 但不同失谐的末态振荡的周期各不相同。求和时，恰在共振壳上的态稳定增长， 稍偏一点的态此起彼落、互相错开相位——对连续区求和把振荡平均掉了， 只留下共振壳的净流出。数学上等价于极限

lim⁡t→∞t2πℏ sinc2 ⁣((Ef−Ei−ℏω)t2ℏ)=δ(Ef−Ei−ℏω)(7.6.7)\lim_{t\to\infty}\frac{t}{2\pi\hbar}\,\mathrm{sinc}^2\!\left(\frac{(E_f-E_i-\hbar\omega)t}{2\hbar}\right) =\delta(E_f-E_i-\hbar\omega)\tag{7.6.7}

sinc² 峰收窄成 δ 函数：长时间极限下能量守恒被严格执行， 黄金规则常因此写成带 δ 函数的形式（对末态积分后两种写法相同）。

物理图像

速率 = 通道的「带宽」乘「车流」。 黄金规则把跃迁速率拆成两个因子：

  • ∣Vfi∣2|V_{fi}|^2——微扰把初末态连得多紧（每条道多宽）；
  • ρ(Ef)\rho(E_f)——能量守恒的壳上有多少条道可走。

矩阵元再大，没有末态可去（ρ=0\rho=0）也是零速率： 把激发态原子放进光子晶体的带隙里，对应频率的光子态被「清空」， 自发辐射真的会被压制——态密度不是记账工具，是可以动手改造的物理实在。

数学形式

Γ=2πℏ ∣⟨f∣V^∣i⟩∣2 ρ(Ef)(7.6.8)\Gamma=\frac{2\pi}{\hbar}\,|\bra{f}\hat V\ket{i}|^2\,\rho(E_f)\tag{7.6.8}

或等价地对末态显式积分：

Γ=2πℏ∑f∣Vfi∣2 δ(Ef−Ei−ℏω)(7.6.9)\Gamma=\frac{2\pi}{\hbar}\sum_f|V_{fi}|^2\,\delta(E_f-E_i-\hbar\omega)\tag{7.6.9}

恒定速率导致指数衰变：N˙=−ΓN⇒N(t)=N0e−Γt\dot N=-\Gamma N\Rightarrow N(t)=N_0\ee^{-\Gamma t}， 寿命 τ=1/Γ\tau=1/\Gamma，谱线自然宽度 ℏΓ\hbar\Gamma（能量–时间不确定关系的又一面）。

算一个量级：原子为什么活 1.6 纳秒

黄金规则最著名的客户：自发辐射。氢原子 2p 态落回 1s，放出 10.2 eV 的光子。 矩阵元来自电偶极相互作用（V^∼er⃗⋅E⃗\hat V\sim e\vec r\cdot\vec{\mathcal E}， 偶极矩量级 ea0ea_0），态密度用上面的光子公式。把两者塞进黄金规则、 对光子方向与偏振求和，整理出的速率是

Γ≈4α3 ω3a02c2×∣矩阵元/ea0∣2(7.6.10)\Gamma\approx\frac{4\alpha}{3}\,\frac{\omega^3a_0^2}{c^2}\times|\text{矩阵元}/ea_0|^2\tag{7.6.10}

（α≈1/137\alpha\approx1/137 是精细结构常数。）代数：ω=1.55×1016 rad/s\omega=1.55\times10^{16}\ \text{rad/s}， 先取矩阵元因子为 1：

Γ≈43×137×(1.55×1016)3×(5.29×10−11)2(3×108)2≈1.1×109 s−1(7.6.11)\Gamma\approx\frac{4}{3\times137}\times\frac{(1.55\times10^{16})^3\times(5.29\times10^{-11})^2}{(3\times10^8)^2} \approx1.1\times10^{9}\ \text{s}^{-1}\tag{7.6.11}

精确矩阵元 ∣⟨1s∣z∣2p0⟩∣=0.745 a0|\bra{1s}z\ket{2p_0}|=0.745\,a_0 再压一个 0.55 的因子， 得 Γ=6.3×108 s−1\Gamma=6.3\times10^8\ \text{s}^{-1}，即

τ=1Γ≈1.6 ns(7.6.12)\tau=\frac{1}{\Gamma}\approx1.6\ \text{ns}\tag{7.6.12}

与实验值完全一致。感受一下这个数的含义：光波周期是 2π/ω∼0.4 fs2\pi/\omega\sim0.4\ \text{fs}， 原子要振荡四百万个周期才发出一个光子——原子与光场的耦合（α\alpha 的幂次） 其实非常微弱，这也反过来解释了为什么一阶微扰论在这里如此可靠。

同一条规则再往外推就是整个谱学与散射物理：光吸收截面、β 衰变速率 （Fermi 本人的用途）、固体中的电子–声子散射、金属电阻—— 凡是「初态通过弱耦合流向连续末态」的问题，第一步永远是写下黄金规则。

本节关键公式

  • 黄金规则

    Γ=2πℏ ∣Vfi∣2 ρ(Ef)\Gamma=\frac{2\pi}{\hbar}\,|V_{fi}|^2\,\rho(E_f)

    速率 = 耦合强度 × 能量壳上的末态数

  • δ 函数极限

    lim⁡t→∞t2πℏ sinc2 ⁣((Ef−Ei−ℏω)t2ℏ)=δ(Ef−Ei−ℏω)\lim_{t\to\infty}\frac{t}{2\pi\hbar}\,\mathrm{sinc}^2\!\left(\tfrac{(E_f-E_i-\hbar\omega)t}{2\hbar}\right)=\delta(E_f-E_i-\hbar\omega)

    长时间极限下能量守恒被严格执行

  • 光子态密度

    ρ光子(E)=VE2π2ℏ3c3\rho_{\text{光子}}(E)=\frac{VE^2}{\pi^2\hbar^3c^3}

    盒子体积 V 最终与矩阵元的 1/V 相消

  • 指数衰变

    N(t)=N0 e−Γt,τ=1/ΓN(t)=N_0\,\ee^{-\Gamma t},\qquad\tau=1/\Gamma

    氢 2p→1s：Γ=6.3×10⁸ s⁻¹，τ≈1.6 ns

自测共 4 题

  1. 1.

    单个末态的跃迁概率在振荡，为什么对连续末态求和后变成恒定速率？

  2. 2.

    把激发态原子放进光子晶体带隙（对应频率的光子态密度为零），会发生什么？

  3. 3.

    关于黄金规则的适用时间窗，正确的说法是：（多选）

    多选题

  4. 4.

    氢原子 2p→1s 的自发辐射速率 Γ = 6.3×10⁸ s⁻¹。求 2p 态的寿命 τ，单位 ns。

    ns允许 10% 相对误差

接下来

含时微扰论处理的是「快而弱」的扰动：光场振荡上百万个周期才引发一次跃迁。 现在把旋钮拧到另一头——扰动极慢呢？慢慢压缩势阱、缓缓转动磁场， 体系会跳走，还是乖乖跟着走？答案（绝热定理）本身已经有用， 但 1984 年 Berry 发现故事里还藏着一个被忽视了半个世纪的角色： 缓慢走过一圈闭环的体系，波函数上会留下一个只与路径几何有关的相位印记。 这个「几何相位」后来串起了 Aharonov–Bohm 效应和整个拓扑物态领域。

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