测量、叠加与坍缩的直觉

「薛定谔的猫既死又活」是流传最广、也最容易被误读的一句话。

误读在于：它听起来像是在说「猫处在某种模糊状态，我们只是不知道是哪一个」。而量子叠加恰恰不是这个意思。这一模块就是要把这两者分开。

叠加是相对于基说的

在 $z$ 基下，这是一个「叠加态」：测 $\sigma_z$ 得 $\pm1$ 各一半。

但在 $x$ 基下，它是 $\hat\sigma_x$ 的本征态：测 $\sigma_x$ 必得 $+1$，毫无随机性。

同一个态，换个基就从「叠加」变成「确定」。所以「这个系统处于叠加态」这句话，如果不说清楚是相对于哪个基，是没有信息量的。

在 Bloch 球上这件事变得极其清楚：态是球面上一个固定的箭头，测量基是一根你可以换方向的轴。箭头指向轴上时结果确定，与轴垂直时五五开。什么都没有变，只是你换了个问题问。

叠加 ≠ 混合

现在考虑两个听起来很像的说法：

• A（叠加）：系统处在 $\ket{+} = \tfrac{1}{\sqrt2}(\ket{0}+\ket{1})$。
• B（混合）：系统以 50% 概率是 $\ket{0}$，50% 概率是 $\ket{1}$，我们不知道是哪个。

沿 $z$ 测量，两者给出完全相同的统计：各一半。

沿 $x$ 测量，两者天差地别：A 必得 $+1$；B 仍然是各一半。

用密度矩阵写：

差别全在非对角元上——它们叫相干项。Bloch 球上，A 在赤道的球面上（$|\vec r|=1$），B 在球心（$|\vec r|=0$）。

相继测量：顺序是有后果的

把 Stern-Gerlach 装置串起来，是理解测量最锋利的实验：

1. $Z$ 分束，挡掉下束 → 剩下的全是 $\ket{0}$；
2. 再来一台 $Z$ → 100% 还是上束。测量是可重复的。
3. 换成 $X$ → 五五开。$\ket{0}$ 在 $x$ 基下是叠加态。
4. 再接一台 $Z$ → 又出现了下束。

第 4 步是关键。第 1 步明明把「下」筛干净了，第 3 步的 $X$ 测量却把它变了回来。这说明 $X$ 测量不是被动读取一个既有属性，它真的改变了态。

代数上就是 $[\hat\sigma_x,\hat\sigma_z]\ne0$：两个不对易的可观测量没有共同本征态，不可能同时确定。

关于「坍缩」的诚实说法

投影公设是一条计算规则：测量得到本征值 $a_n$ 后，用 $\hat P_n\ket{\psi}/\|\hat P_n\ket{\psi}\|$ 继续算。它经受住了一切实验检验。

至于坍缩是不是一个物理过程，各家诠释分歧很大：

好消息是：它们给出的所有预言到目前为止完全一致。所以你可以先把投影公设当工具用熟，再去挑边站。

想一想

1. 在 Bloch 球场景里把态设成 $\ket{0}$、测量轴设成 $\sigma_x$，测一次。此时若改回 $\sigma_z$ 测，得到 $\ket{1}$ 的概率是多少？把这个过程和上面 SG 的第 4 步对应起来。
2. $\rho_A$ 与 $\rho_B$ 沿 $z$ 完全无法区分。要区分它们，至少需要沿哪些轴测量？（提示：需要重建整个 Bloch 矢量。）
3. 如果「测量」只是仪器与系统发生纠缠，那么仪器本身也应处于叠加态。为什么我们从未见过指针的叠加？这个问题在模块 12 有一个（部分的）答案。