自旋 1/2 与 Pauli 矩阵

上一节留下两条线索：代数允许半整数角动量但球面波函数容不下； 以及一次实验里银原子束分成了恰好两束。这一节把两条线索接上。

先看逼出自旋的实验证据。到 1925 年，光谱学攒了一堆用「轨道 + 整数 $l$」 解释不了的账：

• 谱线成对出现。 钠的黄色 D 线用光谱仪细看是两条，波长 589.0 nm 和 589.6 nm，能量只差约 0.002 eV。氢的谱线也有同样的「双线」细结构。 仿佛每个能级都被某个未知的东西轻轻掰成了两半。
• 反常 Zeeman 效应。 磁场中的谱线分裂常常是偶数条。 可上一节刚数过：轨道角动量给出 $2l+1$ 条，$l$ 是整数，这个数永远是奇数。 偶数条意味着有个角动量的 $2j+1$ 是偶数——$j$ 必须是半整数。

Goudsmit 和 Uhlenbeck（当时都是研究生）提出：电子本身携带一份角动量 $s=\tfrac12$，以及随之而来的磁矩。他们给它起名 spin——自转。

先把名字里的坑填掉：电子不是小陀螺

「自旋」这个名字是历史遗留的误导。它让人以为电子是个小球，绕自己的轴转。 这个图像是错的，而且错得可以定量演示：

那自旋到底是什么？这正是 5.1 节 末尾那个反转的用武之地：角动量的定义是对易关系，不是 $\vec r\times\vec p$。 自旋是三个厄米算符 $\hat S_x,\hat S_y,\hat S_z$，满足

$$[\hat S_x,\hat S_y]=\ii\hbar\hat S_z\ \text{及其轮换}\tag{5.3.2}$$

仅此而已。它不依附于任何位置波函数，所以 5.2 节 里「转一圈必须回到原值」的单值性论证对它无效——半整数席位对它敞开。 电子占据的正是最小的那个非平庸席位：$s=\tfrac12$， 本征值 $\hat S^2=\tfrac12\cdot\tfrac32\hbar^2=\tfrac34\hbar^2$， $\hat S_z=\pm\tfrac\hbar2$，共 $2s+1=2$ 个态。

自旋是电子的内禀属性，和电荷、质量并列：你无法给电子「减速自转」或「加速自转」， $s=\tfrac12$ 是出厂设置，能变的只有它在各方向上的取向分量。

两维空间与 Pauli 矩阵

只有两个基矢的系统，是量子力学能给出的最小舞台。记

$$\ket{\uparrow}=\ket{s=\tfrac12,m=+\tfrac12} =\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\qquad \ket{\downarrow}=\ket{s=\tfrac12,m=-\tfrac12} =\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\tag{5.3.3}$$

一般态是二维复矢量 $\ket{\chi}=a\ket{\uparrow}+b\ket{\downarrow}$，$|a|^2+|b|^2=1$。 第 3 章「态是矢量、可观测量是矩阵」的抽象语言，在这里第一次变得具体到能用手算： 所有算符都是 $2\times2$ 矩阵。

从梯算符矩阵元构造出 Pauli 矩阵基础~8 min展开

第一步：$\hat S_z$ 是现成的。 基矢就是它的本征态，对角线摆本征值：

$$\hat S_z=\frac\hbar2\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\tag{5.3.4}$$

第二步：用上一节的通用公式写 $\hat S_\pm$。 公式 $\hat S_\pm\ket{s,m}=\hbar\sqrt{s(s+1)-m(m\pm1)}\ket{s,m\pm1}$ 在 $s=\tfrac12$ 时只有一个非零矩阵元。对 $\hat S_+$：作用在 $\ket{\downarrow}$（$m=-\tfrac12$）上，系数为 $\hbar\sqrt{\tfrac34-(-\tfrac12)(\tfrac12)}=\hbar\sqrt{\tfrac34+\tfrac14}=\hbar$； 作用在 $\ket{\uparrow}$ 上则到顶湮灭。所以

$$\hat S_+=\hbar\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\qquad \hat S_-=\hat S_+^\dagger=\hbar\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\tag{5.3.5}$$

第三步：反解出 $\hat S_x,\hat S_y$。 由定义 $\hat S_\pm=\hat S_x\pm\ii\hat S_y$ 反解：

$$\hat S_x=\frac{\hat S_++\hat S_-}{2}=\frac\hbar2\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\qquad \hat S_y=\frac{\hat S_+-\hat S_-}{2\ii}=\frac\hbar2\begin{pmatrix}0&-\ii\\ \ii&0\end{pmatrix}\tag{5.3.6}$$

第四步：提出公因子。 三个矩阵都带 $\hbar/2$，把剩下的骨架单独命名：

$$\hat{\vec S}=\frac\hbar2\vec\sigma,\qquad \sigma_x=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad \sigma_y=\begin{pmatrix}0&-\ii\\ \ii&0\end{pmatrix},\quad \sigma_z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\tag{5.3.7}$$

这就是 Pauli 矩阵。

第五步：验收。 直接相乘可验证 $[\hat S_x,\hat S_y]=\ii\hbar\hat S_z$ （即 $\sigma_x\sigma_y=\ii\sigma_z$），并且

$$\hat S^2=\frac{\hbar^2}{4}(\sigma_x^2+\sigma_y^2+\sigma_z^2) =\frac{3\hbar^2}{4}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\tag{5.3.8}$$

——单位矩阵乘 $\tfrac34\hbar^2$：每个二维态都是 $\hat S^2$ 的本征态， 本征值正是 $s(s+1)\hbar^2$，$s=\tfrac12$。代数完全自洽。

Pauli 矩阵的代数好用到值得单独背下来。每个都平方成单位阵，不同的两个反对易， 两条合成一条万能乘积公式：

$$\sigma_i\sigma_j=\delta_{ij}\,\mathbb{1}+\ii\sum_k\epsilon_{ijk}\,\sigma_k\tag{5.3.9}$$

（$\epsilon_{ijk}$ 是轮换记号：$xyz$ 顺序取 $+1$，逆序取 $-1$，有重复取 0。） 一个立即的推论：任意方向 $\hat n$ 上的自旋 $\hat n\cdot\vec\sigma$ 满足 $(\hat n\cdot\vec\sigma)^2=\mathbb{1}$，所以它的本征值只能是 $\pm1$，即 $\hat S_n=\pm\tfrac\hbar2$。**不管你从哪个方向测，答案永远只有「上」或「下」两种， 大小永远是 $\hbar/2$。**这件事下一节会在实验里反复上演。

任意方向的自旋态

沿 $\hat n=(\sin\theta\cos\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\theta)$ 方向「朝上」的态 （即 $\hat n\cdot\hat{\vec S}$ 的本征值 $+\tfrac\hbar2$ 的本征态）解出来是：

$$\ket{+\hat n}=\cos\frac\theta2\,\ket{\uparrow}+\ee^{\ii\phi}\sin\frac\theta2\,\ket{\downarrow}\tag{5.3.10}$$

∎本节关键公式

• 自旋 1/2 的谱

  $$\hat S^2=\tfrac34\hbar^2\,\mathbb{1},\qquad \hat S_z\ket{\uparrow}=\tfrac\hbar2\ket{\uparrow},\ \ \hat S_z\ket{\downarrow}=-\tfrac\hbar2\ket{\downarrow}$$

  内禀属性：s = 1/2 不可更改，只有取向可变

• Pauli 矩阵

  $$\sigma_x=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\ \sigma_y=\begin{pmatrix}0&-\ii\\ \ii&0\end{pmatrix},\ \sigma_z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$$

  S = (ħ/2)σ；厄米、无迹、本征值 ±1

• Pauli 代数

  $$\sigma_i\sigma_j=\delta_{ij}\mathbb{1}+\ii\,\epsilon_{ijk}\sigma_k$$

  平方为 1、互相反对易、乘积轮换——全在这一条里

• 任意方向自旋态

  $$\ket{+\hat n}=\cos\tfrac\theta2\ket{\uparrow}+\ee^{\ii\phi}\sin\tfrac\theta2\ket{\downarrow}$$

  半角 θ/2：空间转 360° 态变号，720° 才复原

?自测共 4 题

1. 1.

   「电子的自旋来自电子绕自身轴的转动」这个说法的问题在于：

   • 按经典电子半径估算，所需的表面速度约为光速的 170 倍，且电子实际是点粒子
   • 电子太轻，转不起来
   • 转动会辐射能量，电子会塌缩
   • 说法完全正确，只是转速很快

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2. 2.

   关于 Pauli 矩阵，正确的是：（多选）

   多选题

   • 每个 Pauli 矩阵的平方都是单位矩阵
   • σ_x σ_y = iσ_z
   • 三个 Pauli 矩阵两两对易
   • 任意方向的 n̂·σ 的本征值都是 ±1

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3. 3.

   把自旋态绕某轴在空间中转动 360°，态矢量会怎样？

   • 变为原来的 −1 倍；需要转 720° 才回到原态
   • 回到原态，和任何矢量一样
   • 变成正交的态
   • 变化不可预测

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4. 4.

   在 S_z = +ħ/2 的态中，「自旋矢量」与 z 轴的夹角是多少度？（用 cos θ = S_z/|S|，保留一位小数）

   °允许 30% 相对误差

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接下来

我们已经有了自旋的全部数学：两维空间、三个矩阵、任意方向只有「上下」两种答案。

但这些结论听起来实在离奇——「从任何方向测都恰好是 $\pm\hbar/2$」， 中间值一个都没有？是时候回到 1922 年法兰克福的那间实验室了。 一块磁铁、一束银原子、一块玻璃板， 这个装置不但直接演示了以上每一条，还把第 3 章的测量公设变成了看得见的东西。 下一节整节只讲这一个实验。