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模块 09

时间演化与能量本征态

弄清一件事：本征态什么都不发生，叠加态才会动，而它动的频率就是能级差。

你将看见什么

  • 单个本征态：管子在转，概率密度一动不动
  • 两个本征态叠加：概率密度开始来回流动，周期恰是 2πħ/ΔE
  • 拉开能级差，晃动变快；只留一个能级，一切静止

前置知识

  • 定态与能级（模块 03）
  • 复数相位与拍频

「定态是静止的」和「量子系统在演化」这两句话经常同时出现，初学者会觉得它们互相矛盾。

其实两句都对，只是主语不同。

叠加态：为什么本征态不动，而叠加会晃

第三个维度是时间。当前的 |ψ|² 在最前面，它的历史往后堆成一张时空曲面——本征态是笔直的沟壑，叠加态是荡开的波纹。

3D 场景加载中…

势阱
叠加系数 cₙ
1.00
1.00
0.00
0.00

只有一个非零系数时画面完全静止；两个及以上才开始晃。

演化
t = 0.00
速度
⟨x⟩ 随时间

这条曲线就是「原子这根天线」的摆动。只留一个能级时它是一条死平的直线—— 本征态不辐射，所以原子稳定。

∣Ψ(t)⟩=0.71 ∣0⟩+0.71 ∣1⟩(各项还要乘 e−iEnt/ℏ)\ket{\Psi(t)} = 0.71\,\ket{0} + 0.71\,\ket{1}\quad(\text{各项还要乘 } \ee^{-\ii E_n t/\hbar})
⟨x⟩ = 0.000⟨E⟩ = 0.771拍频周期 T = 2πħ/ΔE = 6.79
  • ψ（复数管）
  • 当前 |ψ|²
  • |ψ|² 的历史（时间往后）

观察指南

  • 先只留 c₀（点「基态」）：管子在转，但 |ψ|² 完全不动，历史曲面是一条条笔直的沟。这就是「定态」。
  • 点「0+1」：概率密度开始左右晃，历史曲面变成斜向的波纹。晃动周期由能级差决定——读数里的 T = 2πħ/ΔE 可以拿秒表核对。
  • 点「0+2」：晃动频率变了（因为 ΔE 变了），而且形状是「呼吸」而不是「左右晃」——奇偶宇称决定了它怎么动。
  • 切到谐振子并点「相干态」：波包形状保持不变、像经典小球一样来回振荡。这是谐振子能级等间距的特权，换成方阱就会散架。
  • 切到「看历史」视角俯视瀑布图：整段时间演化被压成一张静止的图，比盯着动画更容易看清周期。

✕ “叠加态的能量是各能级的平均”

能量期望值确实是加权平均，但单次测量只会得到某个 Eₙ，永远测不到那个平均值。

✕ “本征态不随时间变化”

态矢量一直在变（相位在转），不变的是所有可观测量。区别在于整体相位不可观测。

✕ “晃动频率是 E/ħ”

是能级**差**除以 ħ。绝对能量零点可以任意平移而不影响任何观测——这也是为什么只有能级差有物理意义。

想一想

  1. 把 c₀ 设为 0.99、c₁ 设为 0.14，晃动的频率变不变？幅度变不变？先猜再试。
  2. 无限深阱里 E ∝ n²，所以叠加 0+1 与叠加 2+3 的晃动频率不同。哪个更快？
  3. 如果叠加的两个态宇称相同（比如 0 和 2），⟨x⟩ 会振荡吗？看看 ⟨x⟩ 曲线，再想想矩阵元 ⟨0|x|2⟩ 的宇称。

一般解就是加权求和

任何初态都能按能量本征态展开：

∣Ψ(0)⟩=∑ncn∣n⟩,⟹∣Ψ(t)⟩=∑ncn e−iEnt/ℏ∣n⟩.\ket{\Psi(0)} = \sum_n c_n \ket{n}, \qquad\Longrightarrow\qquad \ket{\Psi(t)} = \sum_n c_n\,\ee^{-\ii E_n t/\hbar}\ket{n}.

时间演化在这个基底下极其简单：每个系数只是转一个相位，模长永远不变。这就是为什么求能量本征态值得花那么大力气——一旦求出来，任意初态的演化就是逐项乘一个相位因子。

于是概率密度

∣Ψ(x,t)∣2=∑n,mcn∗cm ψn∗ψm e−i(Em−En)t/ℏ|\Psi(x,t)|^2 = \sum_{n,m} c_n^* c_m\,\psi_n^*\psi_m\,\ee^{-\ii(E_m-E_n)t/\hbar}

里，n=mn=m 的项完全不含时间，只有交叉项在振荡，频率是

ωnm=Em−Enℏ.\omega_{nm} = \frac{E_m - E_n}{\hbar}.

三条必须分清的线

说法对不对
「本征态不随时间变化」不严谨。态矢量在变（相位在转），可观测量不变。
「∣Ψ⟩\ket{\Psi} 的整体相位没有意义」对。但叠加中各项的相对相位有意义，而且它随时间跑。
「叠加态的能量是 E1E_1 和 E2E_2 的平均」危险。能量期望值是加权平均 $\sum

拍频：两个频率的差

叠加两个本征态时，概率密度以差频振荡。这和两根音叉的拍频完全是同一个数学。

T=2πℏ∣E2−E1∣.T = \frac{2\pi\hbar}{|E_2-E_1|}.

场景里可以直接验证：切换叠加的两个能级、拖动势阱参数改变能级差，秒表读出的周期与这个公式对得上。能级差越大，晃得越快。

相干态：最接近经典的量子态选读

谐振子里有一族特殊的叠加：

∣α⟩=e−∣α∣2/2∑nαnn!∣n⟩.\ket{\alpha} = \ee^{-|\alpha|^2/2}\sum_n \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}\ket{n}.

由于谐振子能级等间距（En=ℏω(n+12)E_n = \hbar\omega(n+\tfrac12)），所有交叉项的频率都是 ω\omega 的整数倍，叠加之后波包不弥散：它保持高斯形状，整体像一个经典小球一样来回振荡，而且始终满足最小不确定性 ΔxΔp=ℏ/2\Delta x\Delta p=\hbar/2。

这就是激光场的量子态，也是「经典极限」最干净的例子。场景里的「相干态」预设直接给出这个初态——注意它是唯一一个形状不变的叠加态，换成方阱就不行了（因为方阱能级不等间距，波包会散架，过很久之后又会部分「复活」，这叫 quantum revival）。

本节关键公式

  • 一般解

    ∣Ψ(t)⟩=∑ncne−iEnt/ℏ∣n⟩\ket{\Psi(t)}=\sum_n c_n\ee^{-\ii E_n t/\hbar}\ket{n}

    本征基下演化 = 逐项转相位

  • 玻尔频率

    ωnm=(Em−En)/ℏ\omega_{nm}=(E_m-E_n)/\hbar

    只有能级差可观测

  • 拍频周期

    T=2πℏ/∣E2−E1∣T = 2\pi\hbar/|E_2-E_1|

    场景里可以掐表验证

  • 能量期望

    ⟨E⟩=∑n∣cn∣2En\langle E\rangle = \sum_n |c_n|^2 E_n

    但单次测量只出 Eₙ

想一想

  1. 若把叠加系数改成 c1=0.99c_1 = 0.99、c2=0.14c_2 = 0.14，晃动的频率变不变？幅度变不变？先猜再试。
  2. 无限深阱里 En∝n2E_n\propto n^2，所以能级差不是常数。叠加 n=1,2n=1,2 与叠加 n=3,4n=3,4，哪个晃得快？
  3. 原子处在激发态本征态时不辐射（本征态是定态）。那么现实中的激发态原子为什么会自发辐射？（提示：要把电磁场也当成量子系统，原子 + 场的整体才是定态。）

深入阅读 · 教材对应小节

3D 场景负责建立图像，完整的推导与习题在教材部分。

学完这一模块