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3.3

Hilbert 空间基本概念

数学家在意、物理学家常跳过的那些细节。这一节只讲会真正影响物理结论的那几条。

建议先掌握

学完本节你应该能

  • 说出量子态所在空间需要满足的三个条件，以及每一条为什么必要
  • 解释 L² 空间的定义，并说明「可归一化」为什么等价于「平方可积」
  • 说明连续谱的本征态为何不属于该空间，以及物理上怎么处理

前两节一直在用「态是矢量」这个说法，但有几件事被绕过去了：

  • ∣ψ⟩=∑ncn∣n⟩\ket{\psi}=\sum_n c_n\ket{n} 这个无穷级数收敛吗？收敛到什么？
  • ∣x⟩\ket{x} 不可归一化，凭什么能当基用？
  • 「完备」到底是什么意思？

这一节补上这些。只讲会影响物理结论的部分——严格的泛函分析请看数学教材。

态空间需要满足什么

物理图像

条件一：是线性空间。

态可以相加、可以乘复数，结果还是态。这直接来自薛定谔方程的线性性，也是叠加原理的数学表述。

条件二：有内积。

⟨ϕ|ψ⟩\braket{\phi}{\psi} 有定义，且满足上一节那三条性质。没有内积就没有归一化、没有正交、没有概率——Born 规则会无处安放。

条件三：完备（在分析的意义上）。

任何柯西序列都收敛到空间内的元素。

数学形式

定义

满足这三条的空间叫 Hilbert 空间，通常记作 H\mathcal H。

量子力学的第一条公设（3.7 节）就是：

一个物理体系的状态由某个 Hilbert 空间中的一个归一化矢量描述。

∣ψ⟩∈H,⟨ψ|ψ⟩=1(3.3.1)\ket{\psi}\in\mathcal H,\qquad \braket{\psi}{\psi}=1\tag{3.3.1}

L²：平方可积函数

一维单粒子的态空间是

L2(R)={ψ:R→C | ∫−∞∞∣ψ(x)∣2dx<∞}(3.3.2)L^2(\mathbb R)=\left\{\psi:\mathbb R\to\mathbb C\ \middle|\ \int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x)|^2\dd x<\infty\right\}\tag{3.3.2}

配上内积 ⟨ϕ|ψ⟩=∫ϕ∗ψ dx\braket{\phi}{\psi}=\int\phi^*\psi\,\dd x。

物理图像

L2L^2 里有什么、没有什么

在里面：所有束缚态、所有波包、所有物理上能制备出来的态。

不在里面：

  • 平面波 eikx\ee^{\ii kx}（∫1 dx=∞\int 1\,\dd x=\infty）
  • δ(x−x0)\delta(x-x_0)（∫δ2\int\delta^2 发散）
  • 常数、多项式、任何不衰减的函数

注意 ψ∈L2\psi\in L^2 不要求 ψ(x)→0\psi(x)\to0 处处成立，也不要求连续——只要求积分收敛。物理上的波函数还额外要求足够光滑，那是薛定谔方程（含二阶导数）的要求，不是 L2L^2 的。

数学形式

可分性：为什么基可以是可数的

L2L^2 是可分的：存在一组可数的正交归一完备基。

这条性质在物理上非常实用——它保证了

∣ψ⟩=∑n=1∞cn∣n⟩(3.3.3)\ket{\psi}=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\ket{n}\tag{3.3.3}

这种「一列数」的展开总是可行的，不需要不可数多个系数。

无限深势阱的 {ψn}\{\psi_n\}、谐振子的 {ψn}\{\psi_n\} 都是这样的基。任何 L2L^2 函数都能用谐振子本征态展开，哪怕它和谐振子毫无关系。

连续谱：那些不在空间里的「本征态」

现在处理那个一直被绕开的问题。

位置算符的本征方程 x^∣x0⟩=x0∣x0⟩\hat x\ket{x_0}=x_0\ket{x_0} 的解，在位置基下是 δ(x−x0)\delta(x-x_0)。动量算符的本征态是平面波。两者都不属于 L2L^2。

物理图像

归一化换成 δ 函数

离散谱：

⟨m|n⟩=δmn(3.3.5)\braket{m}{n}=\delta_{mn}\tag{3.3.5}

连续谱：

⟨x|x′⟩=δ(x−x′),⟨p|p′⟩=δ(p−p′)(3.3.6)\braket{x}{x'}=\delta(x-x'),\qquad \braket{p}{p'}=\delta(p-p')\tag{3.3.6}

这叫δ 归一化。它形式上与离散情形平行（Kronecker δ 换成 Dirac δ），所有公式都能照搬，只是求和换积分。

数学形式

混合谱

有些哈密顿量同时有离散谱和连续谱——2.8 节的有限深势阱就是：能量为负的是有限个束缚态，能量为正的是连续的散射态。

这时完备性关系写成

∑n∣n⟩⟨n∣+∫∣E⟩⟨E∣ dE=1^(3.3.7)\sum_n\ket{n}\bra{n}+\int\ket{E}\bra{E}\,\dd E=\hat 1\tag{3.3.7}

氢原子也是这样：−13.6/n2-13.6/n^2 那一列离散能级，加上 E>0E>0 的电离连续态。

本节关键公式

  • Hilbert 空间

    线性空间 + 内积 + 分析上完备\text{线性空间 + 内积 + 分析上完备}

    量子态住在其中；第一条公设

  • L² 空间

    L2={ψ:∫∣ψ∣2dx<∞}L^2=\{\psi:\int|\psi|^2\dd x<\infty\}

    「可归一化」= 「平方可积」，由 Born 规则挑出

  • δ 归一化

    ⟨x|x′⟩=δ(x−x′),⟨p|p′⟩=δ(p−p′)\braket{x}{x'}=\delta(x-x'),\quad\braket{p}{p'}=\delta(p-p')

    连续谱版本的正交归一

  • 混合谱完备性

    ∑n∣n⟩⟨n∣+∫∣E⟩⟨E∣dE=1^\sum_n\ket{n}\bra{n}+\int\ket{E}\bra{E}\dd E=\hat 1

    有限深势阱、氢原子都需要这个形式

自测共 3 题

  1. 1.

    为什么量子态空间取「平方可积函数」而不是别的？

  2. 2.

    关于 |x⟩ 与 |p⟩，正确的说法是：（多选）

    多选题

  3. 3.

    Hilbert 空间定义里的「完备」与完备性关系 Σ|n⟩⟨n| = 1 里的「完备」：

接下来

空间准备好了，态住在里面。接下来要问的是：在这个空间上能做什么操作？

答案是线性算符。而在所有线性算符里，只有很小的一类配得上「可观测量」这个身份——第 2 章那条没来由的规定，从下一节开始变成可以推导的结论。

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