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3.4

线性算符与本征值问题

算符是把态映成态的机器。在给定基下它就是一个矩阵，而本征值问题就是找那些「只被拉长、不被转向」的方向。

建议先掌握

学完本节你应该能

  • 写出算符在给定基下的矩阵表示，并说明基变了矩阵会怎么变
  • 求解有限维本征值问题，并解释简并对应什么
  • 说明本征子空间的概念，以及为什么简并总与对称性相伴

上一节把态安顿好了。这一节问：在这个空间上能做什么？

算符 = 把态映成态

一个线性算符 A^\hat A 把每个 ket 映成另一个 ket：

A^∣ψ⟩=∣ϕ⟩(3.4.1)\hat A\ket{\psi}=\ket{\phi}\tag{3.4.1}

线性的意思是

A^(a∣ψ1⟩+b∣ψ2⟩)=aA^∣ψ1⟩+bA^∣ψ2⟩(3.4.2)\hat A\big(a\ket{\psi_1}+b\ket{\psi_2}\big)=a\hat A\ket{\psi_1}+b\hat A\ket{\psi_2}\tag{3.4.2}

在一组基下，算符就是矩阵

取正交归一完备基 {∣n⟩}\{\ket{n}\}，定义

Amn=⟨m∣A^∣n⟩(3.4.3)A_{mn}=\bra{m}\hat A\ket{n}\tag{3.4.3}

这些数排成一个矩阵。它足以确定 A^\hat A 的一切：

推导：矩阵元如何决定算符的作用基础~4 min

设 ∣ψ⟩=∑ncn∣n⟩\ket{\psi}=\sum_n c_n\ket{n}，∣ϕ⟩=A^∣ψ⟩=∑mdm∣m⟩\ket{\phi}=\hat A\ket{\psi}=\sum_m d_m\ket{m}。求 dmd_m：

dm=⟨m|ϕ⟩=⟨m∣A^∣ψ⟩(3.4.4)d_m=\braket{m}{\phi}=\bra{m}\hat A\ket{\psi}\tag{3.4.4}

在 A^\hat A 右边插一个完备性关系 ∑n∣n⟩⟨n∣=1^\sum_n\ket{n}\bra{n}=\hat 1：

dm=∑n⟨m∣A^∣n⟩⟨n|ψ⟩=∑nAmncn(3.4.5)d_m=\sum_n\bra{m}\hat A\ket{n}\braket{n}{\psi}=\sum_n A_{mn}c_n\tag{3.4.5} dm=∑nAmncn (3.4.6)\boxed{\ d_m=\sum_n A_{mn}c_n\ }\tag{3.4.6}

这正是矩阵乘列向量。 算符作用在态上，在分量语言里就是矩阵乘法。

同理，两个算符相乘对应矩阵相乘：

(AB)mn=⟨m∣A^B^∣n⟩=∑kAmkBkn(3.4.7)(AB)_{mn}=\bra{m}\hat A\hat B\ket{n}=\sum_k A_{mk}B_{kn}\tag{3.4.7}

（同样是插一个 1^\hat 1。）

本征值问题

A^∣a⟩=a∣a⟩(3.4.8)\hat A\ket{a}=a\ket{a}\tag{3.4.8}

∣a⟩\ket{a} 叫本征矢，aa 叫本征值。

几何含义很直观：绝大多数矢量被 A^\hat A 作用后会既改变长度又改变方向；本征矢是那些只被缩放、方向不变的特殊方向。

物理图像

怎么解（有限维）

把方程写成 (A^−a1^)∣a⟩=0(\hat A-a\hat 1)\ket{a}=0。要有非零解，矩阵必须奇异：

det⁡(A−aI)=0(3.4.9)\det(A-a I)=0\tag{3.4.9}

这是 aa 的 NN 次多项式（特征方程），有 NN 个根（含重数）。对每个根回代，解齐次方程组得本征矢。

数学形式

例：自旋 x 分量

S^x=ℏ2(0110)(3.4.10)\hat S_x=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\tag{3.4.10}

特征方程 a2−(ℏ/2)2=0a^2-(\hbar/2)^2=0，本征值 a=±ℏ/2a=\pm\hbar/2。

回代得本征矢

∣±x⟩=12(1±1)(3.4.11)\ket{\pm_x}=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\ \pm1\end{pmatrix}\tag{3.4.11}

在 ∣±z⟩\ket{\pm_z} 基下，这正是「沿 x 方向自旋向上/向下」这两个态。第 5 章会用到它，而 Bloch 球场景画的就是这些方向。

简并

如果同一个本征值 aa 对应多个线性无关的本征矢，就说这个本征值是简并的，简并度是这些本征矢张成的空间的维数。

物理图像

本征子空间

设 ∣a1⟩,…,∣ag⟩\ket{a_1},\dots,\ket{a_g} 都属于本征值 aa。它们的任意线性组合仍是本征矢：

A^(∑ici∣ai⟩)=a(∑ici∣ai⟩)(3.4.14)\hat A\big(\textstyle\sum_i c_i\ket{a_i}\big)=a\big(\textstyle\sum_i c_i\ket{a_i}\big)\tag{3.4.14}

所以它们张成一个 gg 维子空间 Ha\mathcal H_a，叫本征子空间。

注意：简并时「属于本征值 aa 的本征矢」不是唯一的，甚至不存在一个自然的选法——你可以在 Ha\mathcal H_a 里任选一组基。这个自由度在微扰论里会变得很关键（7.2 节）。

数学形式

简并总是与对称性相伴

氢原子的 n=2n=2 能级有 4 个态（2s2s 与三个 2p2p），能量相同。

为什么？因为哈密顿量有对称性：

  • 球对称 → mm 简并（2px,2py,2pz2p_x,2p_y,2p_z 同能量）
  • 库仑势特有的额外对称性 → ll 简并（2s2s 与 2p2p 同能量）

第二条是库仑势独有的，换成任何别的中心势（比如多电子原子里被屏蔽的势）ll 简并就破了——这正是元素周期表结构的来源。见 6.4 节。

破坏对称性就会解除简并：加磁场破坏球对称，mm 简并解除，谱线分裂——这就是塞曼效应。

本节关键公式

  • 矩阵元

    Amn=⟨m∣A^∣n⟩A_{mn}=\bra{m}\hat A\ket{n}

    算符在一组基下的记账；换基会变

  • 算符作用 = 矩阵乘法

    dm=∑nAmncnd_m=\sum_n A_{mn}c_n

    推导只用了插入一个完备性关系

  • 本征值方程

    A^∣a⟩=a∣a⟩\hat A\ket{a}=a\ket{a}

    本征矢 = 只被缩放、方向不变的方向

  • 特征方程

    det⁡(A−aI)=0\det(A-aI)=0

    有限维求本征值的标准做法

  • 函数的本征值

    f(A^)∣a⟩=f(a)∣a⟩f(\hat A)\ket{a}=f(a)\ket{a}

    构造 e^{−iHt/ħ} 时直接用到

自测共 4 题

  1. 1.

    为什么量子力学中只考虑线性算符？

  2. 2.

    同一个算符在不同基下的矩阵不同。下列哪些量与基的选择无关？（多选）

    多选题

  3. 3.

    本征值简并意味着什么？

  4. 4.

    若 Â|a⟩ = a|a⟩，则 e^{Â}|a⟩ 等于：

接下来

线性算符有无穷多种，但可观测量只能是其中很小的一类——它必须保证测量结果是实数，而且不同结果之间要能分辨。

下一节说清这一类是哪一类，顺带用三行重做2.3 节那个花了大半页的证明。

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