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模块 04

隧道效应与散射

看着一个波包撞上它「翻不过去」的墙，然后有一部分出现在了另一侧。

你将看见什么

  • 经典小球原路弹回，量子波包却分成反射与透射两部分
  • 势垒内部 |ψ|² 指数衰减，不是零
  • 势垒宽度只加倍，透射率掉几个数量级

前置知识

  • 定态与经典禁区里的指数解（模块 03）
  • 波包 = 不同动量成分的叠加

模块 03 结尾留下一条指数尾巴：波函数在经典禁区里不为零，只是指数衰减。

现在把墙做薄一点。尾巴还没衰减完就到了墙的另一头——于是墙外出现了一个向外传播的波。粒子「穿墙而过」了。

隧道效应：波包撞上一堵它「翻不过」的墙

经典小球在 E < V₀ 时必然弹回。看着波包撞上势垒——一部分反射，一部分渗进墙里指数衰减，还有一部分真的出现在了另一侧。

3D 场景加载中…

势垒
2.40
1.60
入射波包
1.60
4.5

σ 越大动量越确定，透射率越接近平面波的解析值

E < V₀：经典上完全禁止穿透

演化
t = 0.0
速度
×1.0

纵向尺度固定在初始波包上，所以透射出来的那一小团是真的小。放大只是为了看清它的形状。

透射率 T(E)
0E = 4.8

蓝线是当前能量，灰线是势垒高度。注意 E > V₀ 之后 T 并不等于 1，而是振荡着逼近 1—— 那是势垒两端反射波的干涉（共振透射）。

数值：反射 R / 透射 T0.000 / 0.000
解析（平面波）T = 6.04e-2κ = √(2(V₀−E)) = 1.265剩余归一化 1.0000
T≈e−2κa,κ=2m(V0−E)ℏT \approx \ee^{-2\kappa a},\qquad \kappa = \frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}
  • ψ（复数管，扭转即相位）
  • |ψ|²
  • 势垒 V(x)
  • 经典粒子

观察指南

  • 默认参数下 E < V₀。按播放，盯住势垒右侧：会有一小团概率密度从墙里钻出来继续向右跑。它的面积就是透射率 T。
  • 暂停在波包刚好压在势垒上的时刻，切到「看势垒」视角：墙内部的 |ψ|² 不是零，而是指数衰减 e^{−2κx}。墙越宽，钻出来的越少——这就是 T ≈ e^{−2κa} 的来历。
  • 把势垒宽度 a 从 1.6 调到 3.2（只翻一倍），看 T 掉了多少个数量级。指数依赖意味着扫描隧道显微镜能分辨单个原子台阶。
  • 把 E 调到略大于 V₀：经典上应当 100% 通过，但你会看到仍有一部分被反射回去。「量子反射」是波动性的另一面。
  • 打开经典粒子对照：小球撞墙原路弹回，永远不会出现在右侧。两者并排跑一次，差别一目了然。

✕ “粒子从墙里借了能量翻过去”

不需要借。定态里能量是确定的，波函数本来就在经典禁区有非零值——它是指数衰减的实指数解，不是「翻越」。把「借能量」当成正式解释会在计算里立刻出错。

✕ “势垒里的粒子速度是虚数”

势垒内部没有定义良好的经典速度。那里的波数 k = i κ 是纯虚的，对应的是衰减而不是传播，谈「速度」已经越界了。

✕ “透射率随宽度线性下降”

是指数下降。宽度翻倍，T 平方级地掉。这个差别是隧道效应一切应用（STM、α 衰变、核聚变）的关键。

想一想

  1. 把 σ 调大（动量更确定），数值 T 会更接近平面波解析值；σ 小的时候两者偏离。为什么？（提示：波包是很多不同 k 的叠加，每个 k 有自己的 T。）
  2. α 衰变的半衰期能从 10⁻⁷ 秒跨到 10¹⁷ 年，跨了 30 多个数量级，而对应的能量只差几个 MeV。用 T ≈ e^{−2κa} 解释这个夸张的敏感性。
  3. 如果势垒高度是无穷大，T 严格为零吗？把 V₀ 拉到最大试试，再想想「无限深方阱」的边界条件是怎么来的。

这个场景在真的解方程

前面几个场景要么有解析解，要么是本征值问题。这一个不同：它在浏览器里逐帧求解含时薛定谔方程

iℏ ∂tψ=[−ℏ22m∂x2+V(x)]ψ\ii\hbar\,\partial_t\psi = \left[-\frac{\hbar^2}{2m}\partial_x^2 + V(x)\right]\psi

用的是分步算符法（split-operator）：把演化算符对称地劈成三段

e−iH^dt/ℏ≈e−iV^dt/2ℏ  e−iT^dt/ℏ  e−iV^dt/2ℏ+O(dt3),\ee^{-\ii\hat H \dd t/\hbar} \approx \ee^{-\ii\hat V \dd t/2\hbar}\;\ee^{-\ii\hat T \dd t/\hbar}\;\ee^{-\ii\hat V \dd t/2\hbar} + O(\dd t^3),

动能部分在动量空间里是对角的，用 FFT 来回变换即可。这个格式严格幺正，跑上万步范数也不掉——读数区那个「剩余归一化」就是在盯着这件事（边缘吸收层吃掉的部分会如实反映为减少）。

算法细节见附录 C。

透射率：指数敏感

对平面波、矩形势垒（E<V0E<V_0）的精确结果是

T=[1+V02sinh⁡2(κa)4E(V0−E)]−1,κ=2m(V0−E)ℏ.T = \left[1 + \frac{V_0^2\sinh^2(\kappa a)}{4E(V_0-E)}\right]^{-1}, \qquad \kappa = \frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}.

当 κa≫1\kappa a \gg 1 时 sinh⁡≈12eκa\sinh \approx \tfrac12\ee^{\kappa a}，于是

T≈16E(V0−E)V02 e−2κa.T \approx \frac{16E(V_0-E)}{V_0^2}\,\ee^{-2\kappa a}.

指数依赖于宽度和 V0−E\sqrt{V_0-E}。这一条支撑了三件看起来毫不相干的事：

现象机制
扫描隧道显微镜能分辨单个原子针尖高低差 0.1 nm，隧道电流变一个数量级
α 衰变半衰期跨 30 个数量级能量只差几 MeV，指数放大成天文数字
太阳能烧起来质子对的库仑势垒靠隧穿才过得去

E > V₀ 时的量子反射与共振透射

把能量调到势垒高度之上。经典粒子必然通过，量子波包却仍有一部分被反射回来——因为势能的突变本身就会反射波，和光从空气进入玻璃时会有部分反射是同一回事。

继续往上调，你会看到 TT 并不是单调趋近于 1，而是振荡着逼近，在 k2a=nπk_2 a = n\pi 处精确等于 1。这是势垒两侧界面反射波的相消干涉，叫共振透射（Ramsauer-Townsend 效应就是它的三维版本）。

控制面板里的 T(E)T(E) 曲线把这一切画在一张图上，当前工作点用竖线标出。

为什么波包的 T 与平面波公式对不上进阶

上面的 T(E)T(E) 是平面波（单一能量）的结果。而场景里发射的是高斯波包，它是许多不同 kk 的叠加：

ψ(x,0)=∫dk  a(k) eikx,a(k)∝e−σ2(k−k0)2.\psi(x,0) = \int \dd k\; a(k)\,\ee^{\ii kx},\qquad a(k) \propto \ee^{-\sigma^2 (k-k_0)^2}.

每个 kk 分量有自己的 T(k)T(k)，最终的透射概率是加权平均

T包=∫dk ∣a(k)∣2 T(k).T_{\text{包}} = \int \dd k\,|a(k)|^2\,T(k).

由于 T(E)T(E) 在 E<V0E<V_0 时随能量指数上升，权重里能量较高的那一小撮尾巴贡献被放大，因此 T包T_{\text{包}} 通常高于 T(E0)T(E_0)。把场景里的 σ\sigma 调大（动量更确定），两者就会靠拢——这个偏差是可以定量核对的，不是数值误差。

本节关键公式

  • 衰减常数

    κ=2m(V0−E)/ℏ\kappa = \sqrt{2m(V_0-E)}/\hbar

    禁区里的指数速率

  • 薄垒近似

    T≈e−2κaT \approx \ee^{-2\kappa a}

    宽度加倍，T 平方级下降

  • 精确透射率

    T=[1+V02sinh⁡2κa4E(V0−E)]−1T = [1+\tfrac{V_0^2\sinh^2\kappa a}{4E(V_0-E)}]^{-1}

    E < V₀ 的矩形垒

  • 共振条件

    k2a=nπk_2 a = n\pi

    E > V₀ 时 T = 1

想一想

  1. 把势垒宽度从 1.6 调到 3.2，读数里的 TT 掉了多少倍？用 e−2κa\ee^{-2\kappa a} 预言这个倍数，再对照。
  2. 势垒高度趋于无穷时 T→0T\to 0。这与无限深方阱「波函数在墙上严格为零」的边界条件如何衔接？
  3. 反射与透射的概率加起来应该是 1，但读数里常常不足 1。看看中间那一段标着「仍在势垒附近」的进度条，解释这个亏损。

深入阅读 · 教材对应小节

3D 场景负责建立图像，完整的推导与习题在教材部分。

学完这一模块