量子操作与 CPTP 映射

设定。 系统初态 $\hat\rho$，环境初态取纯态 $\ket{e_0}$ （环境如果是混合的，先用 10.1 节的纯化把它变纯，不失一般性）。 两者一开始没有关联，整体是 $\hat\rho\otimes\ket{e_0}\bra{e_0}$。 让整体幺正演化 $\hat U$，然后对环境追迹：

展开追迹。 取环境的一组正交归一基 $\{\ket{e_k}\}$：

注意 $\bra{e_k}\hat U\ket{e_0}$ 这个对象：$\hat U$ 作用在「系统 $\otimes$ 环境」上， 两头夹掉环境的态之后，剩下一个只作用在系统上的算符。给它起名：

（直观读法：$\hat E_k$ 是「环境从 $\ket{e_0}$ 跳到 $\ket{e_k}$ 的那个分支里，系统经历的操作」。）于是

这就是 Kraus 表示（也叫算符和表示），$\hat E_k$ 称为 Kraus 算符。

完备性条件。 $\hat U$ 幺正给出约束：

（中间用了环境基的完备性 $\sum_k\ket{e_k}\bra{e_k}=\hat 1$。）

三条性质自动保住。 验证 $\mathcal{E}(\hat\rho)$ 是合法密度矩阵：

• 厄米：每一项 $\hat E_k\hat\rho\hat E_k^\dagger$ 的厄米共轭是它自己。
• 迹一：$\operatorname{Tr}\sum_k\hat E_k\hat\rho\hat E_k^\dagger =\operatorname{Tr}\big(\sum_k\hat E_k^\dagger\hat E_k\,\hat\rho\big)=\operatorname{Tr}\hat\rho=1$ （用了迹的轮换不变性和完备性条件——保迹的责任全在完备性条件上）。
• 半正定：$\bra{\phi}\hat E_k\hat\rho\hat E_k^\dagger\ket{\phi} =\bra{\phi'}\hat\rho\ket{\phi'}\ge0$，其中 $\ket{\phi'}=\hat E_k^\dagger\ket{\phi}$。

幺正演化是只有一个 Kraus 算符（$\hat E_0=\hat U$）的特例； 算符多于一个时，纯态一般被送成混合态——这正是我们要找的「会收缩的」演化。

单独看没毛病。 转置 $\mathcal{T}(\hat\rho)=\hat\rho^{\mathsf T}$ 保厄米、保迹， 也保本征值（矩阵与其转置本征值相同），所以半正定进、半正定出——它是正映射。 单独作用在任何一个量子比特上，输出都是合法密度矩阵。

放进纠缠里立刻出事。 第 9 章的读者知道，真实体系可能和别人纠缠着。 取 Bell 态 $\ket{\Phi^+}=\frac{1}{\sqrt2}(\ket{00}+\ket{11})$， 让转置只作用在 B 上（A 什么都不做），这个组合操作记作 $\mathcal{I}\otimes\mathcal{T}$。

Bell 态的密度矩阵（基序 $\ket{00},\ket{01},\ket{10},\ket{11}$）：

对 B 转置就是交换 B 的指标：矩阵元 $\rho_{(a b),(a'b')}\to\rho_{(a b'),(a' b)}$。 角上的两个 $\frac12$（即 $\ket{00}\bra{11}$ 与 $\ket{11}\bra{00}$）被搬进中间 （变成 $\ket{01}\bra{10}$ 与 $\ket{10}\bra{01}$）：

中间那个 $2\times2$ 块 $\frac12\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ 的本征值是 $\pm\frac12$。 所以整体的本征谱是

出现了负本征值：输出不是密度矩阵，它会对某个测量预言概率 $-\frac12$。

结论。 「对每个单独的态都保正」不足以保证「作用在纠缠体系的一半上仍然合法」。 物理演化必须经得起「我这份体系可能和世界上任何东西纠缠着」的考验—— 这就是「完全」二字守护的东西。Kraus 形式的映射自动通过这个考验 （对 $\mathcal{I}\otimes\mathcal{E}$ 重复上面推导里的半正定验证即可）， 而且反过来也成立（Choi 定理，这里只陈述）：完全正 + 保迹 $\Leftrightarrow$ 存在 Kraus 表示。

顺带一提：转置映射的「不合法」不但没被扔掉，反而变成了工具—— 它对纠缠态才会翻出负本征值，所以「部分转置出负谱」成了检测纠缠的标准判据（PPT 判据）。