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8.7

约化密度矩阵与纠缠初步

整体是纯态，部分却可以是混合态——偏迹把这句话变成可计算的操作。约化密度矩阵给「子系统知道多少」记账，纠缠熵第一次给纠缠标出刻度。

建议先掌握

学完本节你应该能

  • 定义偏迹并对具体的二体纯态算出约化密度矩阵
  • 解释「整体纯、部分混」为什么是纠缠的标志，并用纯度定量判断
  • 计算简单态的纠缠熵，说出它在直积态与 Bell 态上的取值
  • 说明 HF 单行列式近似与「关联 = 纠缠」的联系

3.10 节 结束时留了一张欠条。 那一节说：当体系与别的体系纠缠时，它「根本没有自己的态矢量」， 要描述它只能用密度算符——但当时只对自旋单态摆了一个结果（ρA=121^\rho_A=\frac12\hat 1）， 没有给出从整体态算出子系统描述的一般方法。

本章又添了新的债：上一节把关联能定义为「单行列式描述不了的部分」， 却没有一把尺子去量「两个电子的行为纠缠到什么程度」。

这一节一起还清。工具只有一个：偏迹。

现象：只看一半，纯态看起来像掷硬币

取两个自旋组成 Bell 态（就是 3.10 节的那对老朋友）：

∣Ψ−⟩=12(∣↑⟩A∣↓⟩B−∣↓⟩A∣↑⟩B)(8.7.1)\ket{\Psi^-}=\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\ket{\uparrow}_A\ket{\downarrow}_B-\ket{\downarrow}_A\ket{\uparrow}_B\bigr)\tag{8.7.1}

整体是纯态：我们对这两个自旋的联合状态知道得一清二楚，一丝不确定都没有。

现在只测粒子 A，任选方向：结果永远是五五开的纯随机， 和从炉子里随机飞出的未极化自旋（3.10 节的「经典无知」情形）在 A 上的一切实验里完全无法区分。 整体的信息是满格的，单看一半却什么信息都没有——信息去哪了？

答案：信息不在 A 身上，也不在 B 身上，而在A 与 B 的关联里 （「两者总是相反」这件事本身）。要把这个直觉变成可以计算的陈述， 需要一个从整体 ρAB\rho_{AB} 制造「A 的账本」的运算。

偏迹：把不看的那半求和掉

要求很明确：找一个只属于 A 的算符 ρA\rho_A，使得对任何只作用在 A 上的观测量 O^A\hat O_A，

⟨O^A⟩=Tr⁡[ρAO^A](8.7.2)\langle\hat O_A\rangle=\operatorname{Tr}\bigl[\rho_A\hat O_A\bigr]\tag{8.7.2}

给出与整体计算 Tr⁡[ρAB(O^A⊗1^B)]\operatorname{Tr}[\rho_{AB}(\hat O_A\otimes\hat 1_B)] 相同的预言。 满足这个要求的唯一答案是偏迹（partial trace）：对 B 的自由度求和，

ρA=Tr⁡B ρAB≡∑b  B⟨b∣ ρAB ∣b⟩B(8.7.3)\rho_A=\operatorname{Tr}_B\,\rho_{AB} \equiv\sum_{b}\;{}_B\bra{b}\,\rho_{AB}\,\ket{b}_B\tag{8.7.3}

其中 {∣b⟩B}\{\ket{b}_B\} 是 B 的任意一组正交归一基（结果与选哪组基无关）。 ρA\rho_A 称为 A 的约化密度矩阵。直觉上它就是概率论里的边缘分布—— 「把不关心的变量积掉」——只不过对象从概率分布升级成了密度算符。

算一遍：一般二自旋纯态的约化密度矩阵基础~8 min

第一步：设态。 取

∣Ψ⟩=α∣↑⟩A∣↓⟩B+β∣↓⟩A∣↑⟩B,∣α∣2+∣β∣2=1(8.7.4)\ket{\Psi}=\alpha\ket{\uparrow}_A\ket{\downarrow}_B+\beta\ket{\downarrow}_A\ket{\uparrow}_B, \qquad|\alpha|^2+|\beta|^2=1\tag{8.7.4}

（Bell 态是 α=−β=1/2\alpha=-\beta=1/\sqrt2；直积态是 α\alpha 或 β\beta 为零。）

第二步：写整体密度算符。 ρAB=∣Ψ⟩⟨Ψ∣\rho_{AB}=\ket{\Psi}\bra{\Psi} 展开成四项：

ρAB=∣α∣2∣↑↓⟩⟨↑↓∣+αβ∗∣↑↓⟩⟨↓↑∣+α∗β∣↓↑⟩⟨↑↓∣+∣β∣2∣↓↑⟩⟨↓↑∣(8.7.5)\rho_{AB}=|\alpha|^2\ket{\uparrow\downarrow}\bra{\uparrow\downarrow} +\alpha\beta^*\ket{\uparrow\downarrow}\bra{\downarrow\uparrow} +\alpha^*\beta\ket{\downarrow\uparrow}\bra{\uparrow\downarrow} +|\beta|^2\ket{\downarrow\uparrow}\bra{\downarrow\uparrow}\tag{8.7.5}

第三步：对 B 取迹。 用 B 的基 {∣↑⟩B,∣↓⟩B}\{\ket{\uparrow}_B,\ket{\downarrow}_B\} 逐项夹算。 规则：保留 A 的外积，把 B 的部分缩成数 ⟨b| ⋅ ⟩⟨⋅| b⟩\braket{b}{\,\cdot\,}\braket{\cdot}{\,b}。

  • 第一项：B 部分为 ∣↓⟩⟨↓∣\ket{\downarrow}\bra{\downarrow}，取迹得 1，留下 ∣α∣2∣↑⟩A⟨↑∣|\alpha|^2\ket{\uparrow}_A\bra{\uparrow}。
  • 第二项：B 部分为 ∣↓⟩⟨↑∣\ket{\downarrow}\bra{\uparrow}，对角元全零，取迹得 0——交叉项死了。
  • 第三项：同理为 0。
  • 第四项：留下 ∣β∣2∣↓⟩A⟨↓∣|\beta|^2\ket{\downarrow}_A\bra{\downarrow}。
ρA=∣α∣2∣↑⟩⟨↑∣+∣β∣2∣↓⟩⟨↓∣=(∣α∣200∣β∣2)(8.7.6)\rho_A=|\alpha|^2\ket{\uparrow}\bra{\uparrow}+|\beta|^2\ket{\downarrow}\bra{\downarrow} =\begin{pmatrix}|\alpha|^2&0\\0&|\beta|^2\end{pmatrix}\tag{8.7.6}

第四步：读结果。

  • 直积态（β=0\beta=0）：ρA=∣↑⟩⟨↑∣\rho_A=\ket{\uparrow}\bra{\uparrow}，纯态。A 有自己完整的态。
  • Bell 态（∣α∣2=∣β∣2=12|\alpha|^2=|\beta|^2=\frac12）：ρA=121^\rho_A=\frac12\hat 1，最大混合态—— 3.10 节欠的那个结果，现在是三行计算。
  • 中间情形：部分混合。纠缠越「满」，ρA\rho_A 越混。

注意第三步的机制：杀死相干项的，是 B 的两个态的正交性。 ∣Ψ⟩\ket{\Psi} 里 A 的 ∣↑⟩\ket{\uparrow} 与 ∣↓⟩\ket{\downarrow} 分别「挂」着 B 的两个正交态， 只看 A 时这两支无法干涉——叠加降级为概率混合。 （这个机制往前多走一步就是退相干理论：环境扮演 B，第 10 章展开。）

给纠缠一个数：纠缠熵

「更混」可以量化。3.10 节用纯度 Tr⁡ρ2\operatorname{Tr}\rho^2 量过混合程度； 信息论给出更标准的尺子——冯·诺依曼熵：

S(ρ)=−Tr⁡(ρlog⁡2ρ)=−∑kλklog⁡2λk(8.7.7)S(\rho)=-\operatorname{Tr}\bigl(\rho\log_2\rho\bigr)=-\sum_k\lambda_k\log_2\lambda_k\tag{8.7.7}

λk\lambda_k 是 ρ\rho 的本征值（0log⁡200\log_2 0 按 0 计）。它是香农熵的量子版： 「读这本账本平均缺多少比特的信息」。对整体纯态，把 S(ρA)S(\rho_A) 称为纠缠熵。

物理图像

三个刻度。

  • 直积态：ρA\rho_A 纯，本征值 {1,0}\{1,0\}，S=0S=0。没有纠缠，A 的账本信息满格。
  • Bell 态：ρA=121^\rho_A=\frac12\hat 1，本征值 {12,12}\{\frac12,\frac12\}， S=−2×12log⁡212=1S=-2\times\frac12\log_2\frac12=1。恰好 1 比特——这就是「一对 Bell 态 = 1 个 ebit」 这句量子信息行话的出处。
  • 中间态 α∣↑↓⟩+β∣↓↑⟩\alpha\ket{\uparrow\downarrow}+\beta\ket{\downarrow\uparrow}： S=−∣α∣2log⁡2∣α∣2−∣β∣2log⁡2∣β∣2S=-|\alpha|^2\log_2|\alpha|^2-|\beta|^2\log_2|\beta|^2，在 0 与 1 之间连续变化。

两个自旋的纠缠熵封顶 1 比特；两个 dd 维系统封顶 log⁡2d\log_2 d。

数学形式

具体数字。 取 ∣α∣2=13|\alpha|^2=\tfrac13，∣β∣2=23|\beta|^2=\tfrac23：

ρA=(1/3002/3)(8.7.8)\rho_A=\begin{pmatrix}1/3&0\\0&2/3\end{pmatrix}\tag{8.7.8}

纯度：

Tr⁡ρA2=19+49=59≈0.556(8.7.9)\operatorname{Tr}\rho_A^2=\tfrac19+\tfrac49=\tfrac59\approx0.556\tag{8.7.9}

（介于纯态的 1 与最大混合的 12\frac12 之间。）纠缠熵：

S=−13log⁡213−23log⁡223≈0.918 bit(8.7.10)S=-\tfrac13\log_2\tfrac13-\tfrac23\log_2\tfrac23\approx0.918\ \text{bit}\tag{8.7.10}

已经很接近 1——纠缠对偏离均分并不敏感。

回到本章：关联能就是纠缠的账单

把镜头转回全同粒子，两笔债一起清。

HF 与纠缠。 Hartree–Fock 的试探态是单个 Slater 行列式—— 除了强制的反对称化，它是「每个电子各管各的轨道」的直积结构。 真实基态是多个行列式的叠加，电子的占据方式彼此纠缠： 上一节追不回的关联能，正是这种纠缠在能量上的价码。 现代量子化学甚至反过来用纠缠熵诊断「哪些轨道纠缠得厉害、必须精细处理」—— 密度矩阵重正化群（DMRG）等方法的核心策略就是沿着纠缠的分布裁剪希尔伯特空间。

测量与偏迹。 8.1 节说过「不重叠就可当可分辨」；现在有了对偶的说法： 凡是你不测的自由度，都可以被偏迹求和掉，剩下的账本 ρ\rho 完整地预言你测的那部分。 「子系统 + 偏迹 + 密度矩阵」是量子力学处理「只看一部分」的标准三件套—— 下一章以及第 10 章的开放系统，全部建立在它上面。

本节关键公式

  • 偏迹

    ρA=Tr⁡B ρAB=∑bB⟨b∣ρAB∣b⟩B\rho_A=\operatorname{Tr}_B\,\rho_{AB}=\sum_b{}_B\bra{b}\rho_{AB}\ket{b}_B

    唯一使 ⟨Ô_A⟩ = Tr(ρ_A Ô_A) 对一切局域观测成立的定义

  • 纠缠判据（整体纯态）

    ∣Ψ⟩ 纠缠  ⟺  Tr⁡ρA2<1\ket{\Psi}\ \text{纠缠}\iff\operatorname{Tr}\rho_A^2<1

    整体纯而局部混，混的来源只能是纠缠

  • 冯·诺依曼熵

    S(ρ)=−Tr⁡(ρlog⁡2ρ)=−∑kλklog⁡2λkS(\rho)=-\operatorname{Tr}(\rho\log_2\rho)=-\sum_k\lambda_k\log_2\lambda_k

    纯态为 0；n 维最大混合态为 log₂ n

  • 纠缠熵标尺

    S(ρA)=0 (直积) ⟶ 1 bit (Bell 态)S(\rho_A)=0\ (\text{直积})\ \longrightarrow\ 1\ \text{bit}\ (\text{Bell 态})

    「1 个 ebit」的定义；两自旋的上限

自测共 4 题

  1. 1.

    Bell 态整体是纯态，但只测粒子 A 时结果完全随机。信息在哪里？

  2. 2.

    偏迹运算 Tr_B 之所以是「唯一正确」的子系统描述，是因为：

  3. 3.

    态 |Ψ⟩ = √(1/3)|↑↓⟩ + √(2/3)|↓↑⟩。求 A 的约化密度矩阵的纯度 Tr(ρ_A²)。（保留三位小数）

    允许 1% 相对误差
  4. 4.

    关于纠缠熵 S(ρ_A)，正确的说法是：（多选）

    多选题

接下来

回顾本章，纠缠一直以「麻烦制造者」的面目出现：它让子系统失去自己的态矢量， 让平均场漏掉关联能，让多体波函数无法拆分。

下一章换一副眼镜：纠缠不只是麻烦，还是资源。 一对 Bell 态可以把一个未知量子态「传送」到远方，可以让一根量子信道装下双倍的经典信息， 可以让密钥的安全性由物理定律而非数学难题担保。刚定义的纠缠熵， 将成为丈量这种资源的通用货币。第 9 章：量子信息。

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