玻色子与费米子

上一节的结论是一道二选一的选择题：全同粒子的态要么全对称，要么全反对称。 留下的问题是——谁选哪个？

先看两个实验事实，它们暗示答案和自旋有关。

一中子之差，两个世界

氦有两种稳定同位素。$^4$He 有 2 个质子、2 个中子；$^3$He 少一个中子。 化学性质几乎无法区分——都是懒得反应的惰性气体。但把它们冷下来：

• $^4$He 在 2.17 K 发生超流转变：黏度骤降到测不出来，液体能沿杯壁「爬」出杯口。
• $^3$He 在 2.17 K 什么也不发生。继续降温三个数量级，直到约 2.6 mK，它才勉强超流—— 而且机制完全不同（要靠原子先两两配对）。

差一个中子，转变温度差了近一千倍。质量差（$4:3$）远远解释不了这个悬殊。 类似的对比在别处反复出现：光子愿意大量挤进同一个模式（激光的原理）， 电子则宁死不肯共享一个态（下一节的主角）。自然界的粒子明显分成两种性格： 一种爱扎堆，一种互相回避。

上一节的数学恰好准备了两个抽屉：对称与反对称。现在把两种性格放进去。

两大家族

玻色子（boson）：波函数对任意两粒子交换对称的粒子。 实例：光子（自旋 1）、$^4$He 原子、希格斯粒子（自旋 0）。

费米子（fermion）：波函数对任意两粒子交换反对称的粒子。 实例：电子、质子、中子、中微子（都是自旋 1/2）、$^3$He 原子。

名字来自 Bose 与 Fermi——两类粒子各自服从的统计分布以他们命名。 判据是什么？看自旋：

「半整数自旋」这个判据也解释了 $^4$He 与 $^3$He 的分岔，稍后再算。先把波函数造出来。

构造：从两个粒子到 N 个

两粒子的情形上一节已经写过：

$$\psi_\pm(\vec{r}_1,\vec{r}_2)=\frac{1}{\sqrt2}\bigl[\phi_a(\vec{r}_1)\phi_b(\vec{r}_2)\pm\phi_b(\vec{r}_1)\phi_a(\vec{r}_2)\bigr]\tag{8.2.1}$$

$N$ 个粒子时要求任意一对交换都给出同一符号。做法：把粒子往单粒子态上的 $N!$ 种分配方式全部列出来，按置换的奇偶性配上符号再求和。

三个费米子的反对称波函数与 Slater 行列式基础~7 min展开

第一步：列出全部排列。 设三个正交归一的单粒子态 $\phi_a,\phi_b,\phi_c$， 三个粒子的坐标（含自旋）记为 $x_1,x_2,x_3$。$3!=6$ 种分配方式：

$$\phi_a(x_1)\phi_b(x_2)\phi_c(x_3),\quad \phi_a(x_1)\phi_c(x_2)\phi_b(x_3),\quad\dots\tag{8.2.2}$$

第二步：按奇偶配符号。 由恒等排列经一次对换得到的排列记负号， 两次对换的记正号（可以验证这个奇偶性定义自洽）：

$$\psi_A=\frac{1}{\sqrt{6}}\bigl[ \phi_a(x_1)\phi_b(x_2)\phi_c(x_3)-\phi_a(x_1)\phi_c(x_2)\phi_b(x_3) +\phi_b(x_1)\phi_c(x_2)\phi_a(x_3)\tag{8.2.3}$$$$\qquad\qquad -\phi_b(x_1)\phi_a(x_2)\phi_c(x_3) +\phi_c(x_1)\phi_a(x_2)\phi_b(x_3)-\phi_c(x_1)\phi_b(x_2)\phi_a(x_3)\bigr]\tag{8.2.4}$$

任选一对粒子交换（比如 $x_1\leftrightarrow x_2$），六项两两互换位置且符号相反， 整体变号——反对称性成立。

第三步：认出行列式。 这六项带符号的和，正是一个 $3\times3$ 行列式的展开：

$$\psi_A(x_1,x_2,x_3)=\frac{1}{\sqrt{3!}} \begin{vmatrix} \phi_a(x_1) & \phi_b(x_1) & \phi_c(x_1)\\ \phi_a(x_2) & \phi_b(x_2) & \phi_c(x_2)\\ \phi_a(x_3) & \phi_b(x_3) & \phi_c(x_3) \end{vmatrix}\tag{8.2.5}$$

每一行对应一个粒子，每一列对应一个单粒子态。推广到 $N$ 个粒子就是 $N\times N$ 的 Slater 行列式，归一化因子 $1/\sqrt{N!}$。

第四步：行列式性质自动翻译成物理。

• 交换两行变号 —— 交换两个粒子，波函数反对称。✔
• 两列相同则行列式为零 —— 两个粒子占同一个单粒子态时 $\psi_A\equiv0$： 这样的态不存在。这是下一节泡利不相容原理的全部数学内容，已经免费送到。
• 列的线性组合不改变态（至多差个常数）——「哪组轨道」有相当的选择自由， 8.6 节的 Hartree–Fock 会利用这一点。

玻色子的对称版本类似：把所有符号都取正（这个带正号的「行列式」叫积和式 permanent）， 且允许多个粒子共用同一个态。

空间与自旋的分工：两个电子

两个电子（自旋 1/2）的自旋态在 5.6 节 合成过： 总自旋 $S=1$ 的三个态（三重态）和 $S=0$ 的一个态（单态）。检查它们的交换对称性：

复合粒子怎么算？

质子由三个夸克组成，$^4$He 由 12 个费米子组成——复合粒子服从哪种统计？

规则很简单：交换两个复合粒子 = 同时交换它们内部所有对应的组分。 每交换一对内部费米子出一个 $-1$，玻色子出 $+1$。所以：

含偶数个费米子的复合粒子是玻色子；含奇数个费米子的是费米子。

• $^4$He：2 质子 + 2 中子 + 2 电子 = 6 个费米子 → 玻色子。允许集体挤进最低量子态， 2.17 K 的超流本质上就是这种「宏观扎堆」。
• $^3$He：2 质子 + 1 中子 + 2 电子 = 5 个费米子 → 费米子。不许扎堆， 要超流只能先两两配成对（对是玻色子），代价是转变温度被压到 mK 量级。
• 氢原子（1 质子 + 1 电子）= 2 个费米子 → 玻色子。1995 年实现玻色–爱因斯坦凝聚的 铷-87 原子（37 电子 + 37 质子 + 50 中子 = 124 个费米子）也是玻色子， 凝聚温度约 170 nK。

这条规则与自旋统计定理自洽：奇数个半整数自旋合成出的总自旋必为半整数，偶数个则为整数 （角动量合成规则，见第 5 章）。

∎本节关键公式

• Slater 行列式

  $$\psi_A=\frac{1}{\sqrt{N!}}\det\bigl[\phi_j(x_i)\bigr]$$

  行 = 粒子，列 = 自旋轨道；两列相同则恒为零

• 自旋统计定理

  $$\text{整数自旋}\Rightarrow\text{对称（玻色子）};\quad \text{半整数}\Rightarrow\text{反对称（费米子）}$$

  相对论量子场论的结果，此处只陈述

• 两电子的分工

  $$\Psi=\psi_{\text{空间}}\times\chi_{\text{自旋}},\quad (+)\times(-)\ \text{或}\ (-)\times(+)$$

  单态配对称空间，三重态配反对称空间

• 复合粒子规则

  $$\text{奇数个费米子}\Rightarrow\text{费米子};\quad\text{偶数个}\Rightarrow\text{玻色子}$$

  ⁴He 是玻色子，³He 是费米子

?自测共 4 题

1. 1.

   ⁴He 在 2.17 K 超流而 ³He 要到约 2.6 mK 才超流。根本原因是：

   • ⁴He 含偶数个费米子、是玻色子，可以集体占据最低态；³He 是费米子，必须先配对才能表现玻色行为
   • ³He 更轻，量子涨落更强，破坏了超流
   • ³He 的原子间相互作用弱得多
   • ⁴He 的核自旋为零，不受磁场干扰

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2. 2.

   关于 Slater 行列式，正确的说法是：（多选）

   多选题

   • 交换行列式的两行对应交换两个粒子，波函数变号
   • 两列相同时行列式为零，对应两个费米子不能占据同一自旋轨道
   • 它是费米子多体问题的严格通解
   • 归一化因子是 1/√(N!)（单粒子态正交归一时）

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3. 3.

   把 5 个费米子的反对称波函数按乘积态完全展开，共有多少项？

   项允许 0% 相对误差

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4. 4.

   两个电子处于自旋三重态。它们的空间波函数必须：

   • 反对称，两电子在同一位置的概率密度为零
   • 对称，两电子倾向靠近
   • 不受任何限制
   • 也是三重态

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接下来

Slater 行列式送了我们一份大礼：两列相同时行列式为零—— 两个费米子不能占据同一个量子态。

下一节把这句话展开成它应得的规模：为什么元素周期表长这样、为什么原子有体积、 为什么白矮星烧完了燃料还能不塌。一个负号，撑起半个宇宙。