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10.1

为什么需要密度矩阵

实验室里没有孤立体系：量子比特泡在环境里，原子从炉子里随机飞出。描述这种「不知道」和「没有自己的态」的工具是密度矩阵——本章让它动起来。

建议先掌握

学完本节你应该能

  • 分清经典不确定性与量子叠加，并说出两者在密度矩阵里的位置
  • 复述 ρ 的定义与三条性质，并解释系综诠释
  • 说明为什么同一个 ρ 对应无穷多种制备方式、这为何不是缺陷
  • 用纯化定理解释「每个混合态都是某个纠缠纯态的局部视角」

第 9 章结束时，我们手里握着一整套量子信息的工具：量子比特、纠缠、Bell 不等式、隐形传态。 但那一章有个默认前提一直没有明说——所有体系都是孤立的，演化永远幺正，态永远是纯的。

打开任何一间真实的实验室，这个前提立刻碎掉。

现象开门：实验室里的量子比特为什么「会坏」

一个超导量子比特被做出来、初始化到叠加态 12(∣0⟩+∣1⟩)\frac{1}{\sqrt2}(\ket{0}+\ket{1})， 然后放着不动。几十微秒之后再去测，它的干涉能力消失了——表现得就像 「50% 是 ∣0⟩\ket{0}、50% 是 ∣1⟩\ket{1}」的一枚经典硬币。

没有人去测量它，哈密顿量也没有把它演化到别处。按照第 3 章的规则， 幺正演化保持内积、保持叠加，∣ψ⟩\ket{\psi} 应该永远是某个确定的 ∣ψ(t)⟩\ket{\psi(t)}。 可它就是坏了。

原因不难猜：量子比特不是孤立的。它泡在电磁噪声、衬底声子、杂散二能级缺陷组成的 环境里。要描述「一个跟环境纠缠在一起、而我们只看得到它自己」的体系， 态矢量这门语言先天不够用——这正是3.10 节引入密度算符的理由。

本章要做的事情，是把那一节的静态工具变成动力学： 开放体系怎么演化（10.3、10.4），相干性怎么消失（10.5）， 以及经典世界怎么从中涌现（10.6）。这一节先把地基复查一遍，再往前推三步。

先复查地基：ρ 的速览

3.10 节的要点，四句话说完：

ρ^=∑ipi∣ψi⟩⟨ψi∣,⟨A⟩=Tr⁡(ρ^A^)(10.1.1)\hat\rho=\sum_i p_i\ket{\psi_i}\bra{\psi_i},\qquad \langle A\rangle=\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat A)\tag{10.1.1}
  1. 定义：以经典概率 pip_i 处于纯态 ∣ψi⟩\ket{\psi_i} 的系综，用上式描述；纯态是只有一项的特例。
  2. 三条性质：厄米、Tr⁡ρ^=1\operatorname{Tr}\hat\rho=1、半正定——反过来满足这三条的算符都是合法量子态。
  3. 纯度：Tr⁡(ρ^2)=1\operatorname{Tr}(\hat\rho^2)=1 当且仅当纯态，dd 维最大混合态给出最低值 1/d1/d。
  4. 约化：纠缠态的部分用 ρ^A=Tr⁡Bρ^AB\hat\rho_A=\operatorname{Tr}_B\hat\rho_{AB} 描述，它必然是混合态。

如果这四句里有任何一句让你迟疑，先回去把 3.10 节过一遍——本章每一页都建在它上面。

两种随机，一张表格

量子力学里有两种完全不同的「不确定」，密度矩阵把它们放进了同一个对象的不同位置。

物理图像

经典不确定性：我不知道

从炉子里飞出的银原子，70% 被制备成 ∣↑⟩\ket{\uparrow}，30% 是 ∣↓⟩\ket{\downarrow}。 每个原子都有确定的态，只是我们不知道是哪个。这种无知是经典的， 和抽奖箱里摸球没有区别。

它坐在 ρ^\hat\rho 的对角元上：

ρ^=(0.7000.3)(10.1.2)\hat\rho=\begin{pmatrix}0.7&0\\0&0.3\end{pmatrix}\tag{10.1.2}

数学形式

量子叠加：它没有确定值

态 0.7∣↑⟩+0.3∣↓⟩\sqrt{0.7}\ket{\uparrow}+\sqrt{0.3}\ket{\downarrow} 的自旋 zz 分量 不是「其实有个值只是没测」——第 9 章的 Bell 实验已经排除了这种解释。 随机性在测量时才产生。

它的标志是非对角元（相干项）：

ρ^=(0.70.210.210.3)(10.1.3)\hat\rho=\begin{pmatrix}0.7&\sqrt{0.21}\\\sqrt{0.21}&0.3\end{pmatrix}\tag{10.1.3}

两个矩阵对角元相同，所以沿 zz 测量结果分布一模一样； 差别全在非对角元上，换个方向测立刻分开（3.10 节算过 50/50 的版本）。 一个真实的态一般两种随机都有：对角元给出「测到什么的概率」， 非对角元记录「还剩多少干涉能力」。本章的主线剧情，就是环境如何专门蚕食后者。

往前推第一步：系综诠释与「无穷多种配方」

ρ^=0.7∣↑⟩⟨↑∣+0.3∣↓⟩⟨↓∣\hat\rho=0.7\ket{\uparrow}\bra{\uparrow}+0.3\ket{\downarrow}\bra{\downarrow} 读作「70% 上、30% 下的系综」很自然。但 3.10 节末尾的警告在这里要升级成正式观点： 配方不唯一，而且原则上不可分辨。

两种完全不同的配方，同一个 ρ基础~5 min

配方一：以 0.7/0.30.7/0.3 混合 ∣↑⟩,∣↓⟩\ket{\uparrow},\ket{\downarrow}。

配方二：以各 12\tfrac12 的概率制备下面两个纯态

∣a⟩=0.7 ∣↑⟩+0.3 ∣↓⟩,∣b⟩=0.7 ∣↑⟩−0.3 ∣↓⟩(10.1.4)\ket{a}=\sqrt{0.7}\,\ket{\uparrow}+\sqrt{0.3}\,\ket{\downarrow},\qquad \ket{b}=\sqrt{0.7}\,\ket{\uparrow}-\sqrt{0.3}\,\ket{\downarrow}\tag{10.1.4}

算配方二的密度矩阵。两个投影算符分别是

∣a⟩⟨a∣=(0.70.210.210.3),∣b⟩⟨b∣=(0.7−0.21−0.210.3)(10.1.5)\ket{a}\bra{a}=\begin{pmatrix}0.7&\sqrt{0.21}\\\sqrt{0.21}&0.3\end{pmatrix},\qquad \ket{b}\bra{b}=\begin{pmatrix}0.7&-\sqrt{0.21}\\-\sqrt{0.21}&0.3\end{pmatrix}\tag{10.1.5}

各乘 12\tfrac12 相加，非对角元正负抵消：

ρ^=(0.7000.3)(10.1.6)\hat\rho=\begin{pmatrix}0.7&0\\0&0.3\end{pmatrix}\tag{10.1.6}

与配方一逐元素相同。既然一切可测预言都只通过 Tr⁡(ρ^A^)\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat A) 进入， 两种配方对任何测量、任何后续演化都给出相同结果——不是「难以分辨」，是原则上没有事实之分。

一般结论（Hughston–Jozsa–Wootters 定理，这里只陈述不证）： 两个系综给出同一个 ρ^\hat\rho，当且仅当它们的态列表由一个幺正矩阵相互联系。 同一个 ρ^\hat\rho 的合法配方有无穷多种。

往前推第二步：混合态从哪里来——纯化

还有一个更深的问题：混合态是「基本」的吗？还是说， 每个混合态背后都藏着一个更大的纯态？

答案是后者，而且构造出奇地简单。

纯化：给任何混合态找一个纠缠的「上游」进阶~6 min

任取 ρ^A\hat\rho_A，先对角化（3.10 节：厄米所以总能对角化）：

ρ^A=∑kλk∣k⟩⟨k∣,λk≥0, ∑kλk=1(10.1.7)\hat\rho_A=\sum_k\lambda_k\ket{k}\bra{k},\qquad \lambda_k\ge0,\ \sum_k\lambda_k=1\tag{10.1.7}

引入一个辅助体系 B，维数不小于非零 λk\lambda_k 的个数，构造复合体系的纯态

∣Ψ⟩AB=∑kλk ∣k⟩A∣k⟩B(10.1.8)\ket{\Psi}_{AB}=\sum_k\sqrt{\lambda_k}\,\ket{k}_A\ket{k}_B\tag{10.1.8}

（读者应当认出来：这正是第 9 章的 Schmidt 形式。）验证它确实是 ρ^A\hat\rho_A 的上游——对 B 追迹：

Tr⁡B∣Ψ⟩⟨Ψ∣=∑j⟨j∣B(∑k,lλkλl ∣k⟩A⟨l∣A⊗∣k⟩B⟨l∣B)∣j⟩B(10.1.9)\operatorname{Tr}_B\ket{\Psi}\bra{\Psi} =\sum_j\bra{j}_B\Big(\sum_{k,l}\sqrt{\lambda_k\lambda_l}\, \ket{k}_A\bra{l}_A\otimes\ket{k}_B\bra{l}_B\Big)\ket{j}_B\tag{10.1.9}

内积 ⟨j|k⟩B=δjk\braket{j}{k}_B=\delta_{jk}、⟨l|j⟩B=δlj\braket{l}{j}_B=\delta_{lj} 把双重求和压成单重：

=∑kλk∣k⟩A⟨k∣A=ρ^A■(10.1.10)=\sum_k\lambda_k\ket{k}_A\bra{k}_A=\hat\rho_A\qquad\blacksquare\tag{10.1.10}

例：ρ^A=0.7∣↑⟩⟨↑∣+0.3∣↓⟩⟨↓∣\hat\rho_A=0.7\ket{\uparrow}\bra{\uparrow}+0.3\ket{\downarrow}\bra{\downarrow} 的一个纯化是

∣Ψ⟩AB=0.7 ∣↑⟩A∣↑⟩B+0.3 ∣↓⟩A∣↓⟩B(10.1.11)\ket{\Psi}_{AB}=\sqrt{0.7}\,\ket{\uparrow}_A\ket{\uparrow}_B+\sqrt{0.3}\,\ket{\downarrow}_A\ket{\downarrow}_B\tag{10.1.11}

——一个纠缠态。混合得越厉害，需要的纠缠越多；最大混合态的纯化正是 Bell 态。

本节关键公式

  • 密度矩阵与期望值

    ρ^=∑ipi∣ψi⟩⟨ψi∣,⟨A⟩=Tr⁡(ρ^A^)\hat\rho=\sum_ip_i\ket{\psi_i}\bra{\psi_i},\quad\langle A\rangle=\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat A)

    3.10 节的地基，本章全部建于其上

  • 两种随机的位置

    ρnn 概率;ρmn (m≠n) 相干项\rho_{nn}\ \text{概率};\quad \rho_{mn}\,(m\ne n)\ \text{相干项}

    环境专门蚕食非对角元——本章主线

  • 配方不唯一

    ∑ipi∣ψi⟩⟨ψi∣=∑jqj∣ϕj⟩⟨ϕj∣\sum_ip_i\ket{\psi_i}\bra{\psi_i}=\sum_jq_j\ket{\phi_j}\bra{\phi_j}

    同一 ρ 有无穷多系综分解，原则上不可分辨

  • 纯化

    ∣Ψ⟩AB=∑kλk ∣k⟩A∣k⟩B,Tr⁡B∣Ψ⟩⟨Ψ∣=ρ^A\ket{\Psi}_{AB}=\sum_k\sqrt{\lambda_k}\,\ket{k}_A\ket{k}_B,\quad\operatorname{Tr}_B\ket{\Psi}\bra{\Psi}=\hat\rho_A

    任何混合态都是某个纠缠纯态的局部视角

自测共 4 题

  1. 1.

    「70% 制备成 |↑⟩、30% 制备成 |↓⟩」与纯态 √0.7|↑⟩ + √0.3|↓⟩ 的密度矩阵，差别在哪里？

  2. 2.

    系综为 70% |↑⟩、30% |↓⟩。求纯度 Tr(ρ²)。

    允许 1% 相对误差
  3. 3.

    关于「同一个 ρ 的不同制备配方」，正确的是：（多选）

    多选题

  4. 4.

    纯化定理说「任何混合态都是某个更大纯态的约化」。对实验室里量子比特「变混」的正确理解是：

接下来

密度矩阵是个 2×22\times2 的复矩阵，看起来抽象。但对量子比特，它有一张精确的地图—— Bloch 球。纯态住在球面上，混合态住在球体内部，而本章要讲的所有「变坏」过程， 在地图上都是一次看得见的收缩。下一节把这张地图画出来。

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