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10.2

混合态与 Bloch 球收缩

量子比特的一切状态都住在一个单位球里：纯态在球面，混合态在内部，球心是「完全不知道」。幺正演化是旋转，环境的破坏是收缩。

建议先掌握

学完本节你应该能

  • 把任意量子比特的 ρ 写成 Bloch 矢量形式，并从矩阵反解出 Bloch 矢量
  • 用 Bloch 矢量长度计算纯度，解释球面、内部、球心分别对应什么态
  • 写出沿任意方向测量的概率公式 P = (1 + r·n)/2
  • 描述幺正演化与退相干在 Bloch 球上的几何图像：旋转 vs 收缩

上一节的结论是：实验室里的量子比特要用密度矩阵描述，而它「变坏」的过程 就是纯度下降的过程。但 2×22\times2 复矩阵毕竟不直观——四个复数、 三条约束，很难一眼看出一个态「混到什么程度」。

好在量子比特享有一个奢侈品：它的全部状态空间可以画在三维空间里。

现象开门：三个数就够了

9.1 节已经把纯态画上了 Bloch 球面： ∣ψ⟩=cos⁡θ2∣0⟩+eiϕsin⁡θ2∣1⟩\ket{\psi}=\cos\frac\theta2\ket{0}+\ee^{\ii\phi}\sin\frac\theta2\ket{1} 对应球面上方向 (θ,ϕ)(\theta,\phi) 的单位矢量。 但球面只是一层皮。混合态住在哪里？

数一数自由度。一个 2×22\times2 矩阵有 4 个复数、8 个实参数； 厄米性砍掉 4 个，Tr⁡ρ^=1\operatorname{Tr}\hat\rho=1 再砍 1 个，剩 3 个实参数。 三个实数正好是一个三维矢量——这不是巧合，是下面这个展开：

从 2×2 矩阵到 Bloch 矢量基础~6 min

第一步：选一组基。 泡利矩阵加单位阵 {1^,σ^x,σ^y,σ^z}\{\hat 1,\hat\sigma_x,\hat\sigma_y,\hat\sigma_z\} 构成 2×22\times2 厄米矩阵的完备基（4 个线性无关的厄米矩阵，正好张满）。 任何厄米的 ρ^\hat\rho 都能展开为

ρ^=a01^+axσ^x+ayσ^y+azσ^z,aμ∈R(10.2.1)\hat\rho=a_0\hat 1+a_x\hat\sigma_x+a_y\hat\sigma_y+a_z\hat\sigma_z, \qquad a_\mu\in\mathbb{R}\tag{10.2.1}

第二步：用迹定系数。 泡利矩阵无迹且 Tr⁡(σ^iσ^j)=2δij\operatorname{Tr}(\hat\sigma_i\hat\sigma_j)=2\delta_{ij}，所以

Tr⁡ρ^=2a0=1  ⇒  a0=12,ai=12Tr⁡(ρ^ σ^i)=12⟨σi⟩(10.2.2)\operatorname{Tr}\hat\rho=2a_0=1\;\Rightarrow\;a_0=\tfrac12, \qquad a_i=\tfrac12\operatorname{Tr}(\hat\rho\,\hat\sigma_i)=\tfrac12\langle\sigma_i\rangle\tag{10.2.2}

第二个等号用了上一节的账本公式 ⟨A⟩=Tr⁡(ρ^A^)\langle A\rangle=\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat A)。 定义 Bloch 矢量 r⃗≡(⟨σx⟩,⟨σy⟩,⟨σz⟩)\vec r\equiv(\langle\sigma_x\rangle,\langle\sigma_y\rangle,\langle\sigma_z\rangle)，则

ρ^=1^+r⃗⋅σ⃗^2=12(1+rzrx−iryrx+iry1−rz)(10.2.3)\hat\rho=\frac{\hat 1+\vec r\cdot\hat{\vec\sigma}}{2} =\frac12\begin{pmatrix}1+r_z&r_x-\ii r_y\\ r_x+\ii r_y&1-r_z\end{pmatrix}\tag{10.2.3}

Bloch 矢量就是三个自旋分量的期望值——它不是抽象参数，每个分量都直接可测。

第三步：半正定给出球。 ρ^\hat\rho 的本征值可以直接算： ρ^−121^=12r⃗⋅σ⃗^\hat\rho-\frac12\hat 1=\frac12\vec r\cdot\hat{\vec\sigma}，而 (r⃗⋅σ⃗^)2=r21^(\vec r\cdot\hat{\vec\sigma})^2=r^2\hat 1 （泡利矩阵的标志性代数），所以 r⃗⋅σ⃗^\vec r\cdot\hat{\vec\sigma} 的本征值是 ±r\pm r，ρ^\hat\rho 的本征值是

λ±=1±r2,r≡∣r⃗∣(10.2.4)\lambda_\pm=\frac{1\pm r}{2},\qquad r\equiv|\vec r|\tag{10.2.4}

半正定要求 λ−≥0\lambda_-\ge0，即

r≤1(10.2.5)r\le1\tag{10.2.5}

量子比特的全部合法状态 = 单位实心球。球面（r=1r=1）上 λ−=0\lambda_-=0， 只剩一个本征态——纯态；内部（r<1r<1）两个本征值都非零——混合态。

第四步：纯度。 利用 Tr⁡(ρ^2)=λ+2+λ−2\operatorname{Tr}(\hat\rho^2)=\lambda_+^2+\lambda_-^2：

Tr⁡(ρ^2)=(1+r)2+(1−r)24=1+r22(10.2.6)\operatorname{Tr}(\hat\rho^2)=\frac{(1+r)^2+(1-r)^2}{4}=\frac{1+r^2}{2}\tag{10.2.6}

r=1r=1 给出纯度 1；r=0r=0 给出 12\tfrac12——正是 3.10 节的最大混合态 121^\frac12\hat 1，它住在球心。

物理图像

一张态的地图

  • 球面：纯态。你对它了解到量子力学允许的极限。
  • 内部：混合态。离球面越远，混得越厉害。
  • 球心：最大混合态 121^\frac12\hat 1。任何方向测都是 50/50，一枚彻底的硬币。

矢量的方向告诉你「往哪个方向测最有把握」， 矢量的长度告诉你「这份把握有多大」。 rr 就是把量子态压缩成一个数的「健康指标」。

数学形式

对应的公式

ρ^=1^+r⃗⋅σ⃗^2,0≤r≤1(10.2.7)\hat\rho=\frac{\hat 1+\vec r\cdot\hat{\vec\sigma}}{2},\qquad 0\le r\le1\tag{10.2.7}Tr⁡(ρ^2)=1+r22(10.2.8)\operatorname{Tr}(\hat\rho^2)=\frac{1+r^2}{2}\tag{10.2.8}

沿单位方向 n⃗\vec n 测自旋，得 +1+1 的概率：

P(+n⃗)=Tr⁡ ⁣(ρ^ 1^+n⃗⋅σ⃗^2)=1+r⃗⋅n⃗2(10.2.9)P(+\vec n)=\operatorname{Tr}\!\Big(\hat\rho\,\frac{\hat 1+\vec n\cdot\hat{\vec\sigma}}{2}\Big) =\frac{1+\vec r\cdot\vec n}{2}\tag{10.2.9}

（第二步用了 Tr⁡(σiσj)=2δij\operatorname{Tr}(\sigma_i\sigma_j)=2\delta_{ij}。） 测量结果只依赖 r⃗\vec r 在 n⃗\vec n 上的投影。

旋转与收缩：两类演化的分水岭

现在看动力学。态在球里怎么动？

幺正演化 = 刚性旋转进阶~5 min

幺正演化 ρ^→U^ρ^U^†\hat\rho\to\hat U\hat\rho\hat U^\dagger 作用在 Bloch 矢量上是什么？ 以绕 zz 轴的旋转 U^=e−iϕσ^z/2\hat U=\ee^{-\ii\phi\hat\sigma_z/2} 为例。利用泡利代数 U^†σ^xU^=cos⁡ϕ σ^x−sin⁡ϕ σ^y\hat U^\dagger\hat\sigma_x\hat U=\cos\phi\,\hat\sigma_x-\sin\phi\,\hat\sigma_y（可以逐项展开验证），得

rx→rxcos⁡ϕ+rysin⁡ϕ,ry→−rxsin⁡ϕ+rycos⁡ϕ,rz→rz(10.2.10)r_x\to r_x\cos\phi+r_y\sin\phi,\quad r_y\to -r_x\sin\phi+r_y\cos\phi,\quad r_z\to r_z\tag{10.2.10}

正是绕 zz 轴转角 ϕ\phi 的三维旋转。一般结论：任何 2×22\times2 幺正变换 （除掉不可观测的整体相位）对应 Bloch 球的一个刚性旋转，转轴和转角由 U^=e−iθ n⃗⋅σ⃗^/2\hat U=\ee^{-\ii\theta\,\vec n\cdot\hat{\vec\sigma}/2} 里的 n⃗\vec n 和 θ\theta 给出。

旋转保持长度：rr 不变，纯度 1+r22\frac{1+r^2}{2} 不变。 这就是 3.10 节「幺正演化保纯度」的几何版本——孤立体系的态只会在球里转圈， 永远到不了球心。

推论立刻跟上：既然实验室里的量子比特确实从球面滑向了球内， 它经历的就一定不是幺正演化。能把矢量变短的映射长什么样？这正是下一节的主角。

先给一个具体的预告。设环境的作用是「以概率 pp 把态彻底打乱成 121^\frac12\hat 1， 以概率 1−p1-p 什么都不做」：

ρ^→(1−p) ρ^+p 1^2⟺r⃗→(1−p) r⃗(10.2.11)\hat\rho\to(1-p)\,\hat\rho+p\,\frac{\hat 1}{2} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \vec r\to(1-p)\,\vec r\tag{10.2.11}

Bloch 球整体均匀缩小成半径 1−p1-p 的球——这叫退极化信道。 还有的环境只压扁横向分量（丢相位不丢能量），有的把整个球往北极搬（原子自发辐射， 往基态掉）。下一节会把这三种「变形」都算出来； 在地图上，它们分别是均匀收缩、压成橄榄、和「拉向一个点」。

本节关键公式

  • Bloch 表示

    ρ^=1^+r⃗⋅σ⃗^2,ri=⟨σi⟩\hat\rho=\frac{\hat 1+\vec r\cdot\hat{\vec\sigma}}{2},\qquad r_i=\langle\sigma_i\rangle

    Bloch 矢量 = 三个自旋期望值，逐分量可测

  • 本征值与合法域

    λ±=1±r2,r≤1\lambda_\pm=\frac{1\pm r}{2},\qquad r\le1

    半正定 ⇔ 矢量不出单位球；r = 1 纯态，r < 1 混合态

  • 纯度

    Tr⁡(ρ^2)=1+r22\operatorname{Tr}(\hat\rho^2)=\frac{1+r^2}{2}

    球面 1，球心 1/2（最大混合态）

  • 任意方向测量

    P(+n⃗)=1+r⃗⋅n⃗2P(+\vec n)=\frac{1+\vec r\cdot\vec n}{2}

    只依赖 Bloch 矢量在测量方向上的投影

  • 两类演化

    U^ρ^U^† ⇔ 旋转;r⃗→(1−p)r⃗ ⇔ 收缩\hat U\hat\rho\hat U^\dagger\ \Leftrightarrow\ \text{旋转};\qquad \vec r\to(1-p)\vec r\ \Leftrightarrow\ \text{收缩}

    幺正保长度；开放体系演化使矢量变短

自测共 4 题

  1. 1.

    一个量子比特的 Bloch 矢量长度 r = 0，这个态是：

  2. 2.

    Bloch 矢量长度 r = 0.6 的量子比特，纯度 Tr(ρ²) 是多少？

    允许 1% 相对误差
  3. 3.

    关于幺正演化在 Bloch 球上的作用，正确的是：（多选）

    多选题

  4. 4.

    态 √0.7|↑⟩ + √0.3|↓⟩ 与系综「70% |↑⟩、30% |↓⟩」在 Bloch 球上的位置分别是：

接下来

地图画好了：幺正演化在球里转圈，而真实的量子比特会向内掉。 是什么样的数学对象能把球面上的态送进球体内部，又不违反「密度矩阵必须厄米、 迹一、半正定」这三条铁律？

答案叫量子信道。下一节从「系统和环境一起幺正演化、然后只看系统」出发， 把最一般的合法演化——CPTP 映射——一步步构造出来。

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