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模块 08

纠缠与 Bell 非定域性

亲手把「测量前结果就已经定好了」这个假设，用实验数据推翻。

你将看见什么

  • 两个粒子各自看都是完全随机的，合起来看却严格相关
  • 转动测量角度，关联曲线是 cos，而不是局域隐变量允许的折线
  • CHSH 值实时累加，越过 2 的那一刻，经典解释就出局了

前置知识

  • 单量子比特与 Bloch 球（模块 05）
  • 测量与投影（模块 07）
  • 概率的条件与联合分布

前面所有的怪事，勉强还能用「粒子有某种我们没搞清的内部属性」来搪塞。

这一模块结束这种可能性。Bell 定理的厉害之处在于：它不需要你相信量子力学。它只需要两个看起来天经地义的假设——定域性（这里的测量不影响那里的结果）和实在性（测量只是读取已有的属性）——然后证明，在这两个假设下，某个可测的量必须小于等于 2。

实验测出来是 22≈2.832\sqrt2 \approx 2.83。

纠缠与 Bell：把「测量前就定好了」这个假设做掉

每一对粒子飞向两端，各自给出 ±1。单边看完全随机，合起来看却严格相关。CHSH 的 S 越过 2，局域实在论就出局了。

3D 场景加载中…

模型

按量子力学抽样：P(B|A) = (1 − A·â·b̂)/2

测量角度
0°
90°
45°
135°

默认给的是让 S 最大的那组角度（0°, 90°, 45°, 135°）。自旋的关联是 −cos θ，所以最优角度间隔是 45°。

运行
关联 E(θ)
0°90°180°

蓝色是量子预言 −cos θ，橙虚线是局域隐变量模型能给出的折线，绿点是当前四组设置的实测值。 两条曲线在 0°、90°、180° 重合，在 45° 附近差得最多——CHSH 的四个角度就挑在这里。

CHSH 值 |S|0.000

经典上界 2　·　量子上界 2√2 ≈ 2.828　·　理论预期 2.828

样本数 0Alice 单边 +1 比例 —Bob 单边 +1 比例 —
S=E(a,b)−E(a,b′)+E(a′,b)+E(a′,b′)S = E(a,b) - E(a,b') + E(a',b) + E(a',b')
  • 结果 +1
  • 结果 −1
  • 测量轴

观察指南

  • 先看两端的球：两个约化态都缩在球心（最大混合），说明单看任何一边都是纯粹的随机噪声，一点信息也没有。信息全在关联里。
  • 默认角度下让它跑几百对，|S| 会稳定在 2.8 附近，明显越过经典上界 2。
  • 切到「局域隐变量」模式：同样的角度，|S| 卡在 2 以下上不去。这不是模型没调好——任何局域隐变量模型都过不去，这正是 Bell 的定理。
  • 点「全部同向」：S 掉到 0。角度选错的话，这个实验什么也检验不出来——这解释了为什么 Bell 实验的角度必须精心设计。
  • 把关联曲线里的两条对照看：量子是 cos，局域隐变量最多是折线，两者在 45° 附近差得最多——这正是四个测量角度都相隔 45° 的原因。

✕ “纠缠可以超光速传信息”

Alice 无法控制自己得到 +1 还是 −1，Bob 单边看永远是 50/50。要看到关联必须把两边的记录用经典信道送到一起比对。无信号定理保证了这一点。

✕ “Alice 的测量改变了 Bob 的粒子”

换个惯性系，两次测量的先后顺序会反过来。「谁导致谁」在类空间隔的事件之间没有不变的含义。可靠的说法只是：联合分布不能被分解成两个独立的定域分布。

✕ “纠缠就是很强的关联”

经典关联可以很强（两只手套分装两地，看一只就知道另一只）。区别在于：经典关联的强度随角度是折线，量子是 cos，而这个差别是可以测出来的。

想一想

  1. 手套的例子里，若两端都只测「左还是右」，关联同样是 100%。要区分「手套」和「纠缠」，为什么必须测量至少两组不同的方向？
  2. 量子上界是 2√2（Tsirelson 界），代数上界是 4。存在既不能超光速通信、又能达到 4 的理论吗？（关键词：PR box。）
  3. 若探测效率只有 50%，且丢失的样本与隐变量相关，局域模型能否伪造出 |S| > 2？这就是「探测漏洞」，2015 年的实验才彻底封上。

纠缠态：整体确定，部分随机

考虑单态（自旋零的总态）：

∣Ψ−⟩=12(∣↑⟩A∣↓⟩B−∣↓⟩A∣↑⟩B).\ket{\Psi^-} = \frac{1}{\sqrt2}\left(\ket{\uparrow}_A\ket{\downarrow}_B - \ket{\downarrow}_A\ket{\uparrow}_B\right).

它不能写成 ∣ϕ⟩A⊗∣χ⟩B\ket{\phi}_A\otimes\ket{\chi}_B 的形式——这就是「纠缠」的定义。

后果是：

  • Alice 单独看自己的粒子，得到 ↑↓ 各一半，完全随机，无论她怎么选测量轴；
  • 但只要两人用同一个轴，结果必定相反，100% 相关。

场景左侧两个球分别是 A、B 的约化态：它们都缩在球心（最大混合），说明局部什么信息都没有。信息全在关联里。

CHSH：把哲学变成一个数

Alice 在两个角度 a,a′a, a' 中选一个，Bob 在 b,b′b, b' 中选一个，各自记下 ±1\pm1。定义关联 E(a,b)=⟨AB⟩E(a,b) = \langle A B\rangle，再定义

S=E(a,b)−E(a,b′)+E(a′,b)+E(a′,b′).S = E(a,b) - E(a,b') + E(a',b) + E(a',b').

局域隐变量的预言：若每个粒子携带一组预定值 A(λ),B(λ)A(\lambda), B(\lambda)，则对任意 λ\lambda，

A(a)B(b)−A(a)B(b′)+A(a′)B(b)+A(a′)B(b′)=A(a)[B(b)−B(b′)]+A(a′)[B(b)+B(b′)]=±2,A(a)B(b) - A(a)B(b') + A(a')B(b) + A(a')B(b') = A(a)[B(b)-B(b')] + A(a')[B(b)+B(b')] = \pm 2,

因为方括号里一个是 0、另一个是 ±2\pm2。取平均后必有 ∣S∣≤2|S| \le 2。

量子力学的预言：对单态，E(a,b)=−cos⁡θabE(a,b) = -\cos\theta_{ab}。取 a=0°a=0°、a′=90°a'=90°、b=45°b=45°、b′=135°b'=135°，四个夹角分别是 45°, 135°, 45°, 45°45°,\,135°,\,45°,\,45°，于是

∣S∣=∣−22−22−22−22∣=22≈2.828.|S| = \left|{-\tfrac{\sqrt2}{2}} - \tfrac{\sqrt2}{2} - \tfrac{\sqrt2}{2} - \tfrac{\sqrt2}{2}\right| = 2\sqrt2 \approx 2.828 .

场景里可以自由拖动四个角度，实时看 SS 怎么变。默认给的就是上面这组最优角度。

cos 从哪来进阶

对单态，沿 a^\hat a 与 b^\hat b 测量的联合期望是

E(a^,b^)=⟨Ψ−∣(σ⃗⋅a^)⊗(σ⃗⋅b^)∣Ψ−⟩=− a^⋅b^=−cos⁡θab.E(\hat a,\hat b) = \bra{\Psi^-}(\vec\sigma\cdot\hat a)\otimes(\vec\sigma\cdot\hat b)\ket{\Psi^-} = -\,\hat a\cdot\hat b = -\cos\theta_{ab}.

单态的一个漂亮性质是它在任何方向上都反关联（旋转不变），所以只有夹角要紧。

关键在于 cos⁡\cos 与折线的差别：局域隐变量模型能做出的最好结果是分段线性的，而量子给出的是余弦。两者在 0°0°、90°90°、180°180° 处重合，在 45°45° 附近差得最多——CHSH 的四个角度正是挑在这个最大偏离处。

那些被堵上的漏洞

早期的 Bell 实验留有两个可能的经典逃生口：

  • 探测漏洞：只有一小部分粒子被探测到，若探测效率与隐变量相关，经典模型仍可解释。2013 年起用离子与超导比特做到了高效率。
  • 定域漏洞：若两端的测量选择来得及互相通信，定域性假设就没被真正检验。1982 年 Aspect 用快速切换，1998 年 Weihs 用类空间隔彻底封上。

2015 年的三个实验（Delft、NIST、维也纳）同时堵上了两个漏洞。2022 年诺贝尔物理奖授予 Aspect、Clauser、Zeilinger。

剩下的口子只有「超决定论」——连实验者选择测量角度的自由都是被预先安排好的。这个假设无法被证伪，也无法用来做任何预言。

本节关键公式

  • 单态

    ∣Ψ−⟩=12(∣↑↓⟩−∣↓↑⟩)\ket{\Psi^-}=\tfrac{1}{\sqrt2}(\ket{\uparrow\downarrow}-\ket{\downarrow\uparrow})

    写不成乘积形式 = 纠缠

  • 量子关联

    E(a^,b^)=−a^⋅b^E(\hat a,\hat b) = -\hat a\cdot\hat b

    只依赖夹角

  • CHSH 经典上界

    ∣S∣≤2|S| \le 2

    定域实在论的必然结果

  • Tsirelson 界

    ∣S∣≤22|S| \le 2\sqrt2

    量子力学自己的上限

想一想

  1. 把四个角度都设成相同值，SS 等于多少？为什么这组角度检验不出任何非经典性？
  2. 量子力学给出 222\sqrt2 而不是代数上限 4。存在一种「比量子更非定域、但仍不能超光速通信」的理论吗？（关键词：PR box。为什么自然选了 222\sqrt2 至今没有公认答案。）
  3. 若 Alice 先测、Bob 后测，很容易说成「Alice 的测量导致 Bob 的粒子塌缩」。但换个惯性系，事件顺序会反过来。这说明「谁导致谁」这个问法本身有什么问题？

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3D 场景负责建立图像，完整的推导与习题在教材部分。

学完这一模块