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4.1

对称性与宇称

势能左右对称时，每个束缚态波函数不是偶就是奇——这不是巧合，而是对易子 [H,P] = 0 送上门的免费礼物。

建议先掌握

学完本节你应该能

  • 写出宇称算符，证明对称势下它与哈密顿量对易
  • 解释一维束缚态为什么自动具有确定宇称，且随能量奇偶交替
  • 利用宇称把对称势问题减半：只解半边，边界条件换成 ψ'(0)=0 或 ψ(0)=0
  • 不做积分就判断 ⟨x⟩ 这类量何时必为零

第 3 章结尾说：带上新语言，一维问题可以走得更快。这一节兑现第一笔。

先回头看一个第 2 章里出现过、但当时没解释的现象。把谐振子的本征态从低到高排开：ψ0\psi_0 是关于原点左右对称的钟形曲线；ψ1\psi_1 左负右正，翻转后变号；ψ2\psi_2 又对称；ψ3\psi_3 又反对称……偶、奇、偶、奇，一个不漏地交替下去。 有限深势阱也一样——我们当时甚至直接把解分成了「偶类」和「奇类」来求。

这规律太整齐了，不像巧合。但在第 2 章的语言里，它只是「解出来恰好如此」：每换一个势就得重新解一遍、重新观察一遍。我们缺一个能预先给出这个结论的论证。

第 3 章的对易子正好是为这种事准备的。

镜子算符

定义宇称算符（parity operator）P^\hat P：它的作用就是把波函数照一遍镜子，

P^ ψ(x)=ψ(−x)(4.1.1)\hat P\,\psi(x)=\psi(-x)\tag{4.1.1}

「宇称」这个词听起来玄，其实就是「左右对调之后变不变」的意思。两条性质立刻可以读出来：

第一，照两次镜子等于没照： P^2=1^\hat P^2=\hat 1。于是若 ψ\psi 是 P^\hat P 的本征态、本征值为 λ\lambda，则 λ2=1\lambda^2=1，只能有

λ=+1或λ=−1(4.1.2)\lambda=+1\quad\text{或}\quad\lambda=-1\tag{4.1.2}

本征值 +1+1 的态满足 ψ(−x)=ψ(x)\psi(-x)=\psi(x)，就是偶函数（也叫偶宇称态）；本征值 −1-1 的态满足 ψ(−x)=−ψ(x)\psi(-x)=-\psi(x)，是奇函数（奇宇称态）。除了 ±1\pm1 没有第三种可能。

第二，P^\hat P 是厄米算符（做变量替换 x→−xx\to-x 即可验证 ⟨ϕ|P^ψ⟩=⟨P^ϕ|ψ⟩\braket{\phi}{\hat P\psi}=\braket{\hat P\phi}{\psi}），所以按第 3.5 节的标准，它是一个正经的可观测量——测它，答案只会是 +1+1 或 −1-1。

任何函数都能拆成偶部加奇部：ψ=12(ψ(x)+ψ(−x))+12(ψ(x)−ψ(−x))\psi=\frac12(\psi(x)+\psi(-x))+\frac12(\psi(x)-\psi(-x))。用第 3 章的话说：偶函数和奇函数合起来构成完备基，P^\hat P 的谱分解干净利落。

关键一步：和 H 对易

第 3.6 节的中心结论是：**两个算符对易，就存在共同本征基；对易的可观测量是守恒量。**现在我们来算 [H^,P^][\hat H,\hat P]。

推导：V(−x) = V(x) 时 [H, P] = 0基础~6 min

哈密顿量 H^=−ℏ22md2dx2+V(x)\hat H=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\dd^2}{\dd x^2}+V(x)。要算 [H^,P^][\hat H,\hat P]，就把 H^P^\hat H\hat P 和 P^H^\hat P\hat H 分别作用到任意 ψ(x)\psi(x) 上，看结果是否相同。

先看动能项。 一边是先照镜子再求二阶导：

d2dx2[ψ(−x)](4.1.3)\frac{\dd^2}{\dd x^2}\big[\psi(-x)\big]\tag{4.1.3}

用链式法则：一阶导给出 −ψ′(−x)-\psi'(-x)（内层函数 −x-x 贡献一个负号），再导一次又贡献一个负号：(−1)2ψ′′(−x)=ψ′′(−x)(-1)^2\psi''(-x)=\psi''(-x)。

另一边是先求二阶导再照镜子：P^[ψ′′(x)]=ψ′′(−x)\hat P\big[\psi''(x)\big]=\psi''(-x)。

两边相同。 负号出现了两次，正好抵消——二阶导数天生左右不分。所以动能项与 P^\hat P 永远对易，不需要任何条件。

再看势能项。 一边是

V(x) P^ψ=V(x) ψ(−x)(4.1.4)V(x)\,\hat P\psi=V(x)\,\psi(-x)\tag{4.1.4}

另一边是

P^[V(x)ψ(x)]=V(−x) ψ(−x)(4.1.5)\hat P\big[V(x)\psi(x)\big]=V(-x)\,\psi(-x)\tag{4.1.5}

两式相减：

[V,P^] ψ=[V(x)−V(−x)] ψ(−x)(4.1.6)[V,\hat P]\,\psi=\big[V(x)-V(-x)\big]\,\psi(-x)\tag{4.1.6}

要它对一切 ψ\psi 为零，当且仅当

V(−x)=V(x)(4.1.7)V(-x)=V(x)\tag{4.1.7}

**结论：势能左右对称 ⟺\Longleftrightarrow [H^,P^]=0[\hat H,\hat P]=0。**这就是「对称性」三个字在算符语言里的精确含义：镜像变换不改变哈密顿量。

对易带来什么

物理图像

直觉版。 势左右对称，意味着「镜子里的世界」满足同一个薛定谔方程。把任何一个定态照镜子，得到的仍是同能量的定态。

如果这个能级上只有一个态（一维束缚态正是如此），那镜像态只能是它自己乘个常数，而照两次要回到原样——常数只能是 +1+1 或 −1-1。波函数被对称性逼成了纯偶或纯奇。

守恒的角度：[H^,P^]=0[\hat H,\hat P]=0 说明宇称不随时间变。一个初始为偶的态，永远是偶的——薛定谔方程自己不会「弄歪」它。

数学形式

由 [H^,P^]=0[\hat H,\hat P]=0 与第 3.6 节的定理：存在 H^\hat H 与 P^\hat P 的共同本征基。

再加一维束缚态的独门性质——无简并（同一能量若有两个解 ψ1,ψ2\psi_1,\psi_2，其朗斯基行列式 ψ1ψ2′−ψ2ψ1′\psi_1\psi_2'-\psi_2\psi_1' 为常数；束缚态在无穷远处为零迫使该常数为 0，于是两解成比例，是同一个态）——结论升级为：

H^ψn=Enψn ⟹ P^ψn=±ψn(4.1.8)\hat H\psi_n=E_n\psi_n\ \Longrightarrow\ \hat P\psi_n=\pm\psi_n\tag{4.1.8}

每个束缚态必定（而不仅是「可以选成」）具有确定宇称。

为什么偶奇恰好交替

确定了「非偶即奇」，还差半步才到开头那个观察：为什么按能量排序后是偶、奇、偶、奇？

答案藏在节点计数里。第 2 章反复见过的规律：一维束缚态按能量排序，第 nn 个态（从 0 数起）恰有 nn 个节点——能量越高，波函数弯得越急，穿零越多次。现在把它和宇称拼在一起：

  • 奇函数必过原点：ψ(−0)=−ψ(0)\psi(-0)=-\psi(0) 逼出 ψ(0)=0\psi(0)=0，原点必是节点。而偶函数如果在原点为零，其导数（偶函数的导数是奇函数）也在原点为零，由解的唯一性整条曲线只能恒为零——所以偶态在原点必不为零。
  • 对称势下节点也左右成对出现：x0x_0 是节点则 −x0-x_0 也是。于是偶态的节点总数是偶数，奇态的节点总数是奇数。

节点数 0,1,2,3,…0,1,2,3,\dots 逐一递增，偶数对应偶态、奇数对应奇态——交替就此锁定。基态 0 个节点，永远是偶的；第一激发态 1 个节点，永远是奇的。谐振子、有限阱、以及你以后遇到的任何对称一维势，全都如此，不用再逐个验证。

在下面的模拟里逐级切换 nn，亲眼数一遍节点、看一遍奇偶：

一维谐振子

等间距能级、零点能、渗进经典禁区的尾巴，以及唯一一种「像经典粒子」的量子态。单位取 ħ = m = 1。

Eₙ = (n+½)ħω
0.500
能级间距 ħω
1.00
经典转折点 ±A
±1.00
零点能 E₀
0.500
1.00

势阱变陡 → 能级间距 ħω 变大，波函数被压窄

0

节点数 = n = 0

视图

试试看

  • 在「能级阶梯」下把 n 拉到 8：能级之间永远等距 ħω。这是谐振子独有的——回头看无限深势阱，那里的间距是越往上越大的。
  • 把 ω 调小到 0.4，注意基态能 E₀ = ħω/2 变小但绝不为零。想让 E₀ = 0 就得让粒子精确停在 x = 0 且 p = 0，ΔxΔp ≥ ħ/2 不允许。
  • 切到「单个本征态」+ 显示 ψ，看 n = 0 的曲线在两条虚线（经典转折点）之外并没有归零——粒子有确定的概率出现在经典能量禁止的区域。这就是隧道效应的同一个根源。
  • 显示 |ψ|² 并打开「对照经典分布」，把 n 从 0 加到 20：量子概率密度的振荡包络越来越贴合经典曲线（两端概率大，因为经典粒子在转折点最慢）。
  • 切到「相干态」播放：波包整体来回振荡、形状不变、周期恰好是经典周期 T = 2π/ω。这是薛定谔 1926 年就找出来的「最像经典粒子」的量子态，也是激光的理论描述。

白拿的三样好处

第二样好处是工作量减半。既然对称势的本征态非偶即奇，就只需在半轴 x≥0x\ge0 上求解：

  • 找偶态：在原点加条件 ψ′(0)=0\psi'(0)=0（偶函数在对称中心是平的）；
  • 找奇态：在原点加条件 ψ(0)=0\psi(0)=0。

第 2.8 节把有限阱拆成 tan⁡z\tan z 一族和 −cot⁡z-\cot z 一族，当时像是个代数技巧——现在看清了，那正是宇称在分类：tan⁡\tan 族是偶态，cot⁡\cot 族是奇态，两族沿能量轴交替登场。无量纲参数 z0=a2mV0/ℏz_0=a\sqrt{2mV_0}/\hbar 每跨过一个 π/2\pi/2，就轮流多出一个偶态或奇态。

第三样好处要到 4.4 节的数值计算里兑现：半轴求解让矩阵小一半，而按宇称分块还能避免数值上把近简并的偶奇态混在一起。

本节关键公式

  • 宇称算符

    P^ ψ(x)=ψ(−x),P^2=1^ ⇒ λ=±1\hat P\,\psi(x)=\psi(-x),\qquad \hat P^2=\hat 1\ \Rightarrow\ \lambda=\pm1

    厄米又幺正；本征态就是偶函数与奇函数

  • 对称性条件

    V(−x)=V(x) ⟺ [H^,P^]=0V(-x)=V(x)\ \Longleftrightarrow\ [\hat H,\hat P]=0

    动能项永远对易，条件全落在势能上

  • 束缚态宇称

    H^ψn=Enψn ⇒ ψn(−x)=±ψn(x)\hat H\psi_n=E_n\psi_n\ \Rightarrow\ \psi_n(-x)=\pm\psi_n(x)

    一维束缚态无简并，宇称是必然而非选择；随 n 偶奇交替

  • 宇称选择定则

    ∫ψm x ψn dx≠0 要求 ψm,ψn 宇称相反\int\psi_m\,x\,\psi_n\,\dd x\ne0\ \text{要求}\ \psi_m,\psi_n\ \text{宇称相反}

    被积函数为奇则积分为零；光谱选择定则的雏形

自测共 4 题

  1. 1.

    宇称算符的本征值为什么只能是 +1 或 −1？

  2. 2.

    关于对称势 V(−x) = V(x) 中的一维束缚态，正确的说法有：（多选）

    多选题

  3. 3.

    在半轴 x ≥ 0 上求对称势的偶宇称束缚态时，原点处应施加的边界条件是：

  4. 4.

    一维有限深对称势阱的无量纲深度参数 z₀ = a√(2mV₀)/ħ = 4.0。它共有几个束缚态？（提示：每跨过一个 π/2 ≈ 1.571，偶奇两族轮流多出一个态。）

    允许 40% 相对误差

接下来

宇称把束缚态整理得井井有条：非偶即奇、逐级交替、一堆积分不算自明。

但第 2 章的另一半世界——隧穿与散射那些连续谱的态——还散落着。那里我们只有透射率 TT 和反射率 RR 两个数，它们说了「多少粒子过去了」，却没说势对波做了什么。下一节引入一个更精细的量——相移：势对入射波的全部作用，最后都浓缩在「把波形拉进来还是推出去了多少」这一个角度里。而且你会看到，宇称在连续谱里同样有戏份——它把散射拆成两条互不干扰的通道。

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